---
title: "Многокритериальная оптимизация"
source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F"
wiki: "systems-analysis.info/wiki"
article: "Многокритериальная_оптимизация"
language: "ru"
categories:
  - "Категория:Russian"
  - "Категория:Исследование операций"
  - "Категория:Теория принятия решений"
revision_id: 298
wiki_created_at: 2026-09-06T22:06:47Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T22:06:47Z
downloaded_at: 2026-09-07T22:18:56Z
---

# Многокритериальная оптимизация

**Многокритериальная оптимизация** (также **многокритериальное программирование**, англ. *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — это раздел математической оптимизации, изучающий задачи одновременной оптимизации по двум или более целевым функциям (критериям), которые, как правило, конфликтуют друг с другом<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Формально задача записывается как минимизация векторной целевой функции на множестве допустимых решений.

## Определение и терминология

Задача многокритериальной оптимизации в общем виде записывается следующим образом: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ где $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — непустое множество допустимых решений, а $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — целевые функции ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. Вектор $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ называют целевым вектором.

В отличие от скалярной оптимизации, в многокритериальной постановке обычно не существует единственного решения, улучшающего значения всех критериев одновременно. Поэтому классическое понятие оптимума обобщается с использованием концепции оптимальности по Парето<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Решение Парето** (Парето-оптимальное или эффективное решение): допустимое решение $x^{\ast} \in S$, для которого не существует другого решения $x \in S$, такого что $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ для всех $i = 1,\ldots,k$, и при этом $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ хотя бы для одного индекса $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. Иными словами, решение является Парето-оптимальным, если никакое значение критерия нельзя улучшить без ухудшения хотя бы одного другого критерия.
- **Фронт Парето** (или множество Парето): множество всех целевых векторов, соответствующих Парето-оптимальным решениям.
- **Слабо Парето-оптимальное решение**: решение $x^{\ast} \in S$, для которого не существует другого решения $x \in S$, такого что $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ для всех $i$.

## Ключевые свойства и теоремы

- **Теорема о взвешенной сумме**: В выпуклых задачах (где все функции $f_{i}(x)$ и множество $S$ выпуклы) любое Парето-оптимальное решение $x^{\ast}$ является решением скалярной задачи минимизации взвешенной суммы критериев $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ для некоторого набора неотрицательных весов $w_{i} \geq 0$. Однако в невыпуклых задачах этот метод может не найти некоторые части фронта Парето<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

<!-- -->

- **Условия оптимальности Каруша-Куна-Таккера (ККТ)**: Необходимые условия оптимальности для гладких задач обобщаются на многокритериальный случай. В точке Парето-оптимума существует ненулевой набор неотрицательных множителей (весов), для которых градиенты целевых функций и активных ограничений линейно зависимы<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

<!-- -->

- **Свойства множества решений**: Парето-фронт обладает рядом важных качественных характеристик. Его граница ограничена **идеальной точкой** (составленной из поэлементных минимумов всех критериев) и **точкой надир** (из поэлементных максимумов на фронте)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Примеры

- **Линейная задача**: Минимизировать $f_{1}(x) = - x_{1}$ и $f_{2}(x) = - x_{2}$ при ограничении $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Здесь улучшение одного критерия (например, увеличение $x_{1}$) неизбежно ведёт к ухудшению другого (уменьшению $x_{2}$). Множество Парето-оптимальных решений — это отрезок прямой $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Невыпуклая задача**: Минимизировать $f_{1}(x) = x^{2}$ и $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ на отрезке $\lbrack 0,2\rbrack$. Парето-фронт является невыпуклым. Метод взвешенных сумм с положительными весами не сможет найти решения внутри этого отрезка (например, в точке $x = 1$), так как линейная комбинация критериев будет достигать минимума только в крайних точках $x = 0$ или $x = 2$<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Связанные понятия и применения

Многокритериальная оптимизация тесно связана с [многокритериальным принятием решений (MCDM)](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Теория принятия решений"), которое изучает выбор наилучшей альтернативы с учётом предпочтений лица, принимающего решения. Основные методы преобразования многокритериальной задачи в скалярную (скаляризации) включают:

- **Метод взвешенных сумм**.
- **Метод $\varepsilon$-ограничений**: Оптимизируется один критерий, а остальные переводятся в ограничения вида $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Этот метод способен находить решения на невыпуклых участках фронта<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

Многокритериальная оптимизация находит широкое применение в инженерном проектировании, экономике (например, оптимизация портфеля), управлении и экологии.

## См. также

- [Теория принятия решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Теория принятия решений")
- [Исследование операций](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9 "Исследование операций")
- [Оптимальное решение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Оптимальное решение")
- [Оптимизация](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация")
- [Цель](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D1%8C "Цель")

## Примечания

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>