--- title: "Критерий Сэвиджа" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%8D%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B6%D0%B0" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Критерий_Сэвиджа" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Принятие решений" - "Категория:Теория принятия решений" revision_id: 269 wiki_created_at: 2026-09-06T22:06:23Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:06:23Z downloaded_at: 2026-09-07T22:18:44Z --- # Критерий Сэвиджа **Критерий Сэвиджа** (также известный как **критерий минимального сожаления**) — один из методов принятия решений в условиях неопределённости. Он применяется в ситуациях, когда неизвестны вероятности различных исходов, и целью является минимизация потенциальных потерь вследствие принятия неоптимального решения. ## Общая характеристика В условиях неопределённости последствия выбора каждой стратегии не определены точно. Для оценки возможных альтернатив используется ряд критериев, таких как критерии Вальда, Гурвица, Лапласа и Сэвиджа. Критерий Сэвиджа ориентирован не на достижение максимальной прибыли, а на **минимизацию максимального сожаления** (потерь по сравнению с наилучшим возможным результатом). **Сожаление** — это величина, отражающая упущенную выгоду из-за того, что была выбрана не оптимальная стратегия при конкретном исходе. ## Алгоритм применения критерия Сэвиджа - Формирование платёжной матрицы: Строится таблица, строки которой соответствуют возможным стратегиям, а столбцы — возможным исходам событий. На пересечении записывается ожидаемый результат при конкретной стратегии и исходе. - Построение матрицы сожалений (матрицы рисков): Для каждого исхода (столбца) определяется максимальное значение выигрыша. Затем для каждой ячейки вычисляется величина сожаления: - Определение максимальных сожалений для каждой стратегии:В каждой строке матрицы сожалений выбирается максимальное значение (наихудший случай для данной стратегии). - Выбор оптимальной стратегии: Выбирается та стратегия, для которой максимальное сожаление минимально. Таким образом, критерий Сэвиджа реализует принцип минимизации возможного убытка от неправильного решения. ## Математическая формулировка Пусть заданы: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — множество доступных стратегий (альтернатив). - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — множество возможных состояний природы. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — функция выигрыша (полезности) при выборе стратегии $s_{i}$ и наступлении состояния $\theta_{j}$. Часто представляется платёжной матрицей $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$, где $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. Критерий Сэвиджа основан на понятии **сожаления** (regret) или **упущенной выгоды**. Сожаление $r(s_{i},\theta_{j})$ для стратегии $s_{i}$ при состоянии природы $\theta_{j}$ определяется как разница между максимально возможным выигрышем, который мог быть получен при данном состоянии природы $\theta_{j}$ (если бы была выбрана наилучшая для этого состояния стратегия), и фактическим выигрышем от стратегии $s_{i}$. Алгоритм применения критерия Сэвиджа: 1. **Расчет матрицы сожалений (рисков):** **a) Найти максимальный выигрыш для каждого состояния природы (каждого столбца платёжной матрицы):** $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$ Это наилучший возможный результат, если наступит состояние $\theta_{j}$. **b) Вычислить элементы матрицы сожалений** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$:\*\* $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$ Элемент $r_{ij}$ показывает, насколько выигрыш от стратегии $s_{i}$ меньше максимально возможного при состоянии $\theta_{j}$. Все элементы $r_{ij} \geq 0$. 1. **Нахождение максимального сожаления для каждой стратегии:** Для каждой стратегии $s_{i}$ (каждой строки матрицы сожалений $R$) определяется её наихудший возможный исход с точки зрения сожаления: $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$ 1. **Выбор стратегии с минимальным максимальным сожалением (принцип минимакса сожалений):** Выбирается та стратегия $s_{\text{Savage}}^{\ast}$, которая минимизирует найденное максимальное сожаление: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$ Или, подставляя выражение для $r_{ij}$: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$ Минимальное значение максимального сожаления, достигаемое при использовании критерия Сэвиджа, равно: $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$ Таким образом, критерий Сэвиджа направлен на выбор стратегии, которая гарантирует наименьшие потери относительно наилучшего возможного действия для каждого состояния природы. Ключевые моменты в математической формулировке: - Определение сожаления $r_{ij}$: Это центральное понятие. Важно показать, что оно вычисляется как разница между лучшим исходом в столбце j и текущим исходом a\_{ij}. - Матрица сожалений $R$: Явно указано, как она строится. - Нахождение $r_{i}^{\max}$: Показан поиск максимума в каждой строке матрицы сожалений. - Принцип минимакса: Четко сформулирован выбор стратегии через $\arg\min$ от $\max$ сожалений. - Используемые обозначения: Стандартные для теории игр и принятия решений (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min). ## Достоинства и недостатки **Преимущества:** - Ориентирован на минимизацию рисков. - Особенно эффективен в условиях высокой неопределённости. **Недостатки:** - Игнорирует ожидаемую прибыль, сосредотачиваясь только на возможных потерях. - Может приводить к излишне консервативным решениям. ## Критерии принятия решений - [Критерий Гурвица](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B2%D0%B8%D1%86%D0%B0 "Критерий Гурвица") - [Критерий Лапласа](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0 "Критерий Лапласа") - [Критерий Вальда](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%92%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%B4%D0%B0 "Критерий Вальда")