--- title: "Исследование операций" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Исследование_операций" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Исследование операций" - "Категория:Моделирование" - "Категория:Оптимизация" revision_id: 246 wiki_created_at: 2026-09-06T22:06:03Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:06:03Z downloaded_at: 2026-09-07T22:18:37Z --- # Исследование операций **Исследование операций** (*Operations Research, OR*) — междисциплинарное научное направление, связанное с разработкой и применением количественных методов [оптимизации](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация") на основе [математического моделирования](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Математическое моделирование") и различных эвристических подходов. Служит инструментом предварительного количественного обоснования управленческих решений в сложных системах различной природы: технических, экономических, организационных. ## Сущность и цели Первоначально исследование операций определялось как научный метод, дающий в распоряжение руководителя количественные основания для принятия решений, связанных с деятельностью подчинённых организаций. Подчёркивался прикладной характер дисциплины, ориентированной на использование достижений других наук для анализа специфических проблем совершенствования управления. Под "операцией" в контексте данной дисциплины понимается управляемый комплекс действий, объединённых единым замыслом и направленных на достижение цели. Термин восходит к военному управлению, где он означал целенаправленное мероприятие, реализуемое по определённому плану. Методы исследования операций применяются в тех случаях, когда необходимо организовать целенаправленную деятельность, которую можно реализовать различными способами. При этом требуется выбрать одно из возможных решений, каждое из которых имеет свои преимущества и недостатки. Цель исследования операций заключается в предварительном количественном обосновании оптимальных решений с опорой на показатели эффективности. Само принятие решения выходит за рамки дисциплины и относится к компетенции ЛПР (лица, принимающего решение). ## История и развитие Исследование операций как научное направление возникло в годы Второй мировой войны. Его становление связано с деятельностью групп учёных, привлечённых к решению задач военного планирования. Методы OR использовались при организации боевых вылетов, планировании морских операций, распределении ресурсов. После войны началась адаптация методов к задачам гражданского сектора: промышленности, логистике, управлению запасами и реорганизации производства. Классические труды были написаны в 1950–1970-х годах (Дж. Данциг, Р. Акофф, Ч. Черчмен, М. Арнофф). В СССР методы исследования операций развивались преимущественно под названиями "математическое моделирование", "математическое программирование", "математические методы оптимизации". Среди ключевых фигур — Л. В. Канторович (создатель линейного программирования, лауреат Нобелевской премии 1975 г.), В. Г. Гнеденко, Е. С. Вентцель, Н. П. Брусленко. С конца XX века также используется термин "производственная аналитика". ## Методология Методология исследования операций включает следующие этапы: 1. Формализация исходной проблемы; 2. Построение модели (математической, имитационной и др.); 3. Решение модели (аналитически или численно); 4. Проверка адекватности модели; 5. Реализация решения и анализ чувствительности. 6. Особенность подхода состоит в объединении интуиции руководителя с результатами моделирования. Модель — это не полная копия реальности, а инструмент, позволяющий принимать более обоснованные решения. ## Целевая функция и критерии эффективности Эффективность определяется как продуктивность использования ресурсов в достижении цели. Чтобы сравнивать варианты между собой, вводится количественный критерий — целевая функция. Это формализованный показатель эффективности, который необходимо максимизировать (например, прибыль, производительность) или минимизировать (например, издержки, затраты, время). При наличии нескольких критериев возникает задача многокритериальной оптимизации. Эффективные решения в таком случае определяются по Парето — как решения, не уступающие другим по всем критериям одновременно. ## Формализуемость задач Методы исследования операций наиболее эффективны при решении хорошо структурированных (формализуемых) задач, допускающих количественную постановку и построение математических моделей. Эти модели включают переменные, ограничения и целевую функцию. Допустимым считается решение, удовлетворяющее всем ограничениям; оптимальным — если оно также экстремизирует целевую функцию. ## Математические модели операций Математическая модель — основа применения количественных методов в исследовании операций. Она представляет собой формализованное описание управляемой деятельности (операции), в котором выделяются ключевые параметры, зависимости и цели. Модель всегда упрощает и схематизирует реальность, и её точность определяется соответствием между сложностью модели и доступной информацией. Ключевые принципы построения моделей: - Модель должна отражать важнейшие черты явления и учитывать наиболее значимые факторы. - Модель не должна быть перегружена второстепенными деталями, затрудняющими анализ. - Не существует универсального способа моделирования — каждая модель подбирается индивидуально, с учётом целей, уровня неопределённости и наличия данных. - Рекомендуется использовать несколько моделей для одного явления и сравнивать результаты (так называемый «спор моделей»). ## Математическое программирование Математическое программирование — ядро прикладных методов исследования операций. Задача формулируется в виде: - [области допустимых решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Область допустимых решений"); - [целевой функции](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F "Целевая функция"); - [ограничений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения"). Различают линейное, нелинейное, целочисленное и многокритериальное программирование. - **[Линейное программирование](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Линейное программирование")** — раздел математического программирования, в котором целевая функция и ограничения являются линейными. Используется для оптимизации при ограниченных ресурсах. - **[Нелинейное программирование](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Нелинейное программирование")** — задача оптимизации, в которой целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейны. Применяется для моделирования сложных зависимостей. - **[Целочисленное программирование](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Целочисленное программирование")** — разновидность задач оптимизации, в которых некоторые или все переменные принимают только целые значения. Актуально при решении задач комбинаторного характера. - **Многокритериальное программирование** — область оптимизации, в которой одновременно учитываются несколько целевых функций. Решения выбираются с учётом компромиссов между критериями. ## Типовые задачи исследования операций Наиболее типовые классы задач включают: - Задачи распределения ресурсов — оптимальное распределение ограниченных ресурсов между конкурентными направлениями деятельности с учётом заданных ограничений. Пример: составление плана выпуска продукции при ограниченности сырья и оборудования. - Транспортные задачи — определение оптимального плана перевозок, минимизирующего совокупные затраты при перемещении продукции от пунктов отправления к пунктам потребления. - Задачи о назначениях — распределение исполнителей по задачам (или оборудованию по операциям) так, чтобы суммарные затраты были минимальны или общий эффект максимален. Частный случай транспортной задачи. - Задачи массового обслуживания — моделирование систем с очередями (например, банков, складов, телекоммуникационных центров) для анализа времени ожидания, загрузки ресурсов и оптимизации числа обслуживающих устройств. - Задачи управления запасами — определение стратегии пополнения и хранения запасов, обеспечивающей удовлетворение спроса при минимальных затратах. - Задачи замены оборудования — выбор момента замены устаревающего или изнашивающегося оборудования с целью минимизации затрат на ремонт, эксплуатацию и приобретение. - Сетевые задачи — определение критического пути в проектных графах, оптимизация потоков в сетях (например, транспортных или информационных), минимизация времени выполнения проекта. - Задачи раскроя и компоновки — оптимизация размещения объектов (например, заготовок на листе материала) для минимизации отходов. - Задачи теории игр — моделирование конфликтных ситуаций с участием двух и более сторон с несовпадающими интересами, анализ стратегий с точки зрения выигрыша и рисков. - Задачи многокритериальной оптимизации — нахождение решений, оптимальных по нескольким, зачастую противоречивым критериям (например, качество vs. стоимость vs. срок исполнения). - Имитационное моделирование — моделирование сложных систем, поведение которых не поддаётся точному аналитическому описанию (например, логистика крупных хабов или производственные системы с высокой неопределённостью). Каждый тип задач может быть представлен в виде математической модели, содержащей переменные, ограничения и целевую функцию. ## Методы - Теория вероятностей и статистика - Теория графов - Теория игр - [Имитационное моделирование](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Имитационное моделирование") - Модели массового обслуживания - Модели управления запасами и замен - [Сетевые модели](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8 "Сетевые модели") и [критический путь](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%83%D1%82%D1%8C "Критический путь") ## Ограничения метода - Чрезмерная чувствительность к исходным данным; - Локальная оптимизация не гарантирует системной оптимальности; - Неадекватность [критерия](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9 "Критерий") истинной [цели](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D1%8C "Цель"); - Возможность появления нежелательных эффектов при неполном учёте ограничений. ## Применение Исследование операций применяется в: - логистике и управлении запасами; - производственном планировании; - строительстве и капитальном планировании; - экономике, обороне, энергетике; - государственном и корпоративном управлении. ## Cсылки - Статья об исследовании операций на systems-analysis.ru - Статья об исследовании операций на википедии (RU) - Статья об исследовании операций на википедии (EN) ## Литература - Канторович Л. В. (1939). *Математические методы организации и планирования производства*. PDF - Вентцель Е. С. (1972). *Исследование операций*. PDF - Вентцель Е. С. (2004). *Исследование операций: задачи, принципы, методология*. 3-е изд. PDF - Hillier F. S.; Lieberman G. J. (пер. с англ., 2005). *Введение в исследование операций*. 7-е рус. изд. PDF - Данциг Дж. (1966). *Линейное программирование, его применения и обобщения*. Пер. с англ. HTML - Dantzig, G. B. (1963). *Linear Programming and Extensions*. RAND PDF. - Kantorovich, L. V. (1960). *Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production*. PDF. - Churchman, C. W.; Ackoff, R. L.; Arnoff, E. L. (1957). *Introduction to Operations Research*. Archive.org. - Hillier, F. S.; Lieberman, G. J. (2014, 10-е изд.). *Introduction to Operations Research*. PDF. - Winston, W. L. (2004, 4-е изд.). *Operations Research: Applications and Algorithms*. PDFroom. - Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. (1956). *Maximal Flow Through a Network*. PDF. - Nemhauser, G. L.; Wolsey, L. A. (1988). *Integer and Combinatorial Optimization*. Wiley. - Bellman, R. (1957). *Dynamic Programming*. PDF.