--- title: "Закон Литтла" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Закон_Литтла" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Исследование операций" revision_id: 239 wiki_created_at: 2026-09-06T22:05:55Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:05:55Z downloaded_at: 2026-09-07T22:18:33Z --- # Закон Литтла **Закон Литтла** — фундаментальная теорема теории массового обслуживания (теории очередей) и [исследования операций](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9 "Исследование операций"), устанавливающая связь между средним числом объектов в системе, средней интенсивностью их поступления и средним временем пребывания объекта в системе. В стандартной форме закон записывается как $L = \lambda W$, где $L$ — среднее число требований (клиентов, заявок, изделий) в системе, $\lambda$ — средняя эффективная интенсивность поступления требований в систему (единиц в единицу времени), $W$ — среднее время пребывания требования в системе. Теорема не зависит от распределений интервалов между прибытиями и времён обслуживания, дисциплины обслуживания (FIFO, LIFO, приоритетная и др.), числа каналов обслуживания и других деталей структуры системы при условии существования и конечности соответствующих средних величин[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little1961-1). Несмотря на название, речь идёт не об эмпирическом «законе» в физическом смысле, а о строго доказанной математической теореме. Ключевая особенность результата состоит в его модельной общности: базовое равенство не зависит от конкретных распределений, числа каналов обслуживания или дисциплины обслуживания; критично лишь то, чтобы долгосрочные средние были корректно определены и конечны[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-stidham1974-2). ## Формулировка Закон Литтла выражается формулой: $L = \lambda W$ где: - **$L$** — среднее число объектов (требований, клиентов, заявок, изделий) в системе, включая очередь и обслуживание; - **$\lambda$** — средняя эффективная интенсивность поступления объектов в систему (единиц в единицу времени); - **$W$** — среднее время пребывания одного объекта в системе (от поступления до выхода). Формула справедлива для любой системы, в которой элементы прибывают, проводят некоторое время (в очереди и/или на обслуживании) и покидают систему. Закон применим к подсистемам внутри более крупных систем, а также к сетям очередей[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3). В производственном контексте закон часто переформулируют как: $\text{TH} = \frac{\text{WIP}}{\text{CT}}$ где TH — пропускная способность (*throughput*), WIP — незавершённое производство (*work-in-process*), CT — время цикла (*cycle time*)[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-hopp2011-4). В демографии и биологии популяций используется эквивалентная форма: $P = B \times e$, где $P$ — размер популяции, $B$ — рождаемость, $e$ — ожидаемая продолжительность жизни[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-cohen2008-5). ## История и предпосылки Отдельные случаи соотношения $L = \lambda W$ (или эквивалентных форм) фиксировались в литературе по теории очередей с 1950-х годов без строгого доказательства. В 1954 году А. Кобхэм (A. Cobham) использовал соотношение как очевидное в работе по приоритетным очередям[\[6\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-cobham1954-6). В 1958 году Ф. М. Морс (P. M. Morse) в книге «*Queues, Inventories and Maintenance*» явно записал формулу $L = \lambda W$ и предложил читателям найти ситуацию, в которой она не выполняется[\[7\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-morse1958-7). Первое общее доказательство опубликовал **Джон Д. К. Литтл** (John D. C. Little) в 1961 году в статье «*A Proof for the Queuing Formula: L = λW*» в журнале *Operations Research* (том 9, № 3, с. 383–387). Доказательство опиралось на предположения строгой стационарности процессов и метрической транзитивности (эргодичности) входного потока[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little1961-1). Впоследствии появились более простые доказательства: - **У. С. Джуэлл** (W. S. Jewell, 1967) — доказательство на основе теории восстановления[\[8\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-jewell1967-8); - **С. Эйлон** (S. Eilon, 1969) — компактное доказательство без явных предположений о распределениях, числе серверов или дисциплине обслуживания[\[9\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-eilon1969-9); - **Ш. Стидхэм** (S. Stidham, 1972, 1974) — интуитивные sample-path доказательства (анализ траекторий), показавшие большую общность закона без строгой стационарности; требуется лишь существование и конечность предельных средних[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-stidham1974-2). В 2011 году Литтл опубликовал обзор к 50-летию теоремы, обобщив теоретические и практические разработки[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3). ## Теоретические основы ### Формальное утверждение Пусть $L(t)$ — число элементов в системе в момент времени $t$, $N(T)$ — число прибытий за интервал $\lbrack 0,T\rbrack$, $W_{i}$ — время пребывания $i$-го элемента в системе. Тогда определяются три средние величины: $L = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}L(t)\, dt$ (среднее по времени), $\lambda = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}\frac{N(T)}{T}$ (средняя интенсивность прибытия), $W = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n}W_{i}$ (среднее время пребывания). Теорема утверждает: если $\lambda$ и $W$ существуют и конечны, то существует $L$ и выполняется $L = \lambda W$[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little1961-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-stidham1974-2). ### Геометрическая интерпретация Площадь под кривой $L(t)$ за большой интервал $T$ равна суммарному времени пребывания всех элементов, что даёт $L \cdot T \approx \lambda \cdot T \cdot W$. При $T \rightarrow \infty$ и пренебрежимо малых краевых эффектах (система пуста в начале и конце или эффекты исчезают) получается точное равенство[\[10\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-littlegraves2008-10). ### Траекторная (sample-path) формулировка В траекторной формулировке рассматривается одна реализация очередного процесса без явного указания вероятностного пространства. Пусть $t_{n}$ — моменты поступления клиентов, $W_{n}$ — их времена пребывания, $t_{n}^{d} = t_{n} + W_{n}$ — моменты ухода. Доказательство основано на оценке площади под траекторией $L(s)$ через суммы времён пребывания: $\sum\limits_{j:t_{j}^{d} \leq t}W_{j} \leq \int_{0}^{t}L(s)\, ds \leq \sum\limits_{j:t_{j} \leq t}W_{j}$ и последующем переходе к пределу $t \rightarrow \infty$. Этот подход позволяет формулировать закон Литтла без глобальных предположений о стационарности, при условии существования соответствующих пределов[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-stidham1974-2)[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-sigman2009-11). ### Частные формы Закон Литтла имеет ряд стандартных частных форм в зависимости от выбора границ системы: - **Для очереди (зоны ожидания):** $L_{q} = \lambda W_{q}$, где $L_{q}$ — среднее число ожидающих, $W_{q}$ — среднее время ожидания до начала обслуживания. - **Для обслуживающего устройства (серверов):** $L_{s} = \lambda_{s}S$, где $L_{s}$ — среднее число одновременно обслуживаемых клиентов, $S$ — среднее время обслуживания. - **Для закрытых интерактивных систем:** $N = X(R + Z)$, где $N$ — число пользователей, $R$ — время отклика, $Z$ — время «размышления» пользователя[\[12\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-lazowska1984-12). При смене определения системы меняются значения $L$, $\lambda$ и $W$, но остаётся справедливым их произведение $L = \lambda W$[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-sigman2009-11). ## Обобщения - **$H = \lambda G$** (Brumelle, 1971; Heyman, Stidham, 1980) — обобщение, где $H$ — время-среднее некоторой функции (например, работы, стоимости), $G$ — среднее значение этой функции по элементам. Закон Литтла — частный случай при функции, равной 1[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-whitt1991-13). - **Distributional Little's law** (Keilson, Servi, 1988; Bertsimas, Nakazato, 1995) — связь распределений числа элементов и времени пребывания. При условиях FIFO, стационарности и независимости распределение числа элементов в системе совпадает с распределением числа поступлений за случайное время $W$[\[14\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-keilson1988-14)[\[15\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-bertsimas1995-15). - **Применимость к подсистемам, классам элементов и сетям очередей** (в том числе сетям Джексона) при соответствующих условиях балансировки потоков[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-whitt1991-13). ## Условия применимости Для корректного применения закона Литтла необходимо соблюдение следующих условий: - **Стационарность или существование стационарных средних:** процессы числа требований, интервалов поступления и времён пребывания либо строго стационарны, либо соответствующие средние по времени и по выборке существуют и конечны[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little1961-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-stidham1974-2). - **Сохранение потока:** каждый элемент, входящий в систему, в конечном итоге покидает её; граница между системой и внешней средой корректно определена[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-sigman2009-11). - **Ненулевая конечная интенсивность $\lambda$:** поток поступления устоялся и имеет конечную плотность во времени[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little1961-1). Отсутствие предположений о распределениях интервалов и времён обслуживания, а также о дисциплине обслуживания отличает закон Литтла от многих других результатов классической теории очередей. ## Методология применения Закон применяется путём измерения любых двух из трёх величин ($L$, $\lambda$, $W$) и вычисления третьей. Система может быть любой (очередь, производство, сеть, популяция), если определены «поступление», «пребывание» и «система» согласованно. Практическое применение начинается не с подстановки в формулу, а с **выбора границ системы** и согласованного определения трёх величин. Несогласованность определений — главный источник методологических ошибок[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3)[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). Для конечного интервала наблюдения $\lbrack 0,T\rbrack$ существуют точные версии: - Если система пуста в моменты $0$ и $T$, то $L(T) = \lambda(T) \cdot W(T)$ строго. - В общем случае вводится корректировка на элементы, присутствовавшие в начале или оставшиеся в конце[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). В системах с отказами, потерями или уходами из очереди необходимо использовать эффективную (а не номинальную) интенсивность поступления $\lambda$, соответствующую выбранной границе анализа[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). ## Эмпирические данные и примеры | Область | Система | $\lambda$ (поступление) | $W$ (время пребывания) | $L$ (среднее число) | Условия | Источник | |-----------------|------------------------------------|------------------------------------------|------------------------|----------------------------|---------------------------------------------------|------------------------------| | Производство | Полупроводниковый завод | 1 000 пластин/день | 45 дней | 45 000 пластин | Стационарный режим, 9 месяцев наблюдений | Little, Graves (2008) | | Здравоохранение | Отделение неотложной помощи | 10 пациентов/ч (целевое) | 3 часа | 30 пациентов | Целевое время пребывания; 4 врача + буфер 10–20 % | Harris (2010) | | Здравоохранение | Отделение наблюдения в больнице | 55,4 пациентов/день (20 % на наблюдение) | 1,14 дня | ≈14 коек (утилизация 90 %) | Стационарный поток | Lovejoy, Desmond (2011) | | Производство | Проект разработки нефтяных скважин | 0,274 скважины/день | 240 дней | 66 скважин | Долгосрочные средние | Project Production Institute | | Виноделие | Винный погреб | 96 бутылок/год | 1,67 года | 160 бутылок | Ёмкость 240, заполнение 2/3 | Little, Graves (2008) | | Общепит | Кофейня | 20 человек/ч | 0,25 часа (15 мин) | 5 человек | Стабильный режим | Иллюстративный пример | | IT-системы | Обработка запросов к серверу | 50 запросов/с | 0,2 секунды | 10 запросов | Средняя глубина очереди + обслуживание | Lazowska et al. (1984) | Примеры применения закона Литтла ## Применение ### Производство и операционный менеджмент Закон Литтла служит базовым инструментом для связи WIP, пропускной способности (*throughput*) и времени цикла (*lead time*) в бережливом производстве (Lean), системах Kanban и CONWIP. Ограничение WIP при фиксированной пропускной способности снижает время цикла, что является одним из ключевых принципов Lean-менеджмента[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-hopp2011-4). ### Компьютерные системы и телекоммуникации В вычислительных системах закон Литтла используется для анализа задержки (*latency*), планирования параллелизма (*concurrency*), проектирования кэш-иерархий и масштабирования серверов. Среднее число запросов $L$ и пропускная способность $\lambda$ позволяют вычислить время отклика $W = L/\lambda$. Закон применяется при нагрузочном тестировании веб-приложений для проверки согласованности измеренных метрик[\[12\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-lazowska1984-12)[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3). ### Здравоохранение Закон Литтла применяется для планирования кадрового состава (*staffing*) в отделениях неотложной помощи, определения необходимого числа коек в отделениях наблюдения (*observation units*), а также для анализа потока пациентов. В типичных исследованиях используются данные за длительный период (от нескольких недель до месяцев), чтобы обеспечить приближение к стационарному режиму[\[17\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-harris2010-17)[\[18\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-lovejoy2011-18). ### Демография и биология В демографии и экологии закон Литтла применяется в форме $P = B \times e$: размер стационарной популяции равен произведению рождаемости на ожидаемую продолжительность жизни (при однородной популяции без миграции)[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-cohen2008-5). ### Управление проектами и разработка ПО В системах Kanban и [Agile-методологиях](https://systems-analysis.info/wiki/Agile "Agile") закон Литтла используется для оценки среднего времени выполнения задач (*lead time*) при известном количестве активных задач (WIP) и среднем темпе выполнения (*throughput*). Ограничение числа задач в работе (WIP-лимит) позволяет снижать время выполнения без увеличения пропускной способности[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-hopp2011-4). ### Логистика и розничная торговля В логистике и складских системах $L$ интерпретируется как число единиц товара в системе, $\lambda$ — интенсивность входа/выхода грузов, $W$ — среднее время нахождения груза от приёмки до отгрузки. Закон используется при анализе оборота запасов и проектировании складских мощностей[\[10\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-littlegraves2008-10). ## Ограничения и открытые проблемы - **Требование стационарности.** При ярко выраженной транзиентной динамике (запуск или остановка системы, резкие изменения нагрузки) закон в прямой форме $L = \lambda W$ может не описывать краткосрочное поведение[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). - **Только для средних.** Базовая форма не даёт квантилей, хвостовых вероятностей, дисперсий; для описания распределений требуются дополнительные модели (например, M/M/1, GI/G/1) либо distributional Little's law[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-whitt1991-13). - **Эффективная интенсивность.** В системах с блокировками или потерями необходимо использовать эффективную $\lambda$ (только присоединившиеся элементы), а не номинальную интенсивность внешнего потока[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). - **Краевые эффекты.** Для конечных интервалов измерений необходимы коррекции; рекомендуется метод batch means и построение доверительных интервалов[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16). - **Определение системы.** Неправильное определение «системы» или «прибытия» приводит к кажущимся нарушениям закона[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-sigman2009-11)[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3). Открытые вопросы: статистическая оценка параметров из конечных данных, применение к сильно нестационарным системам, time-varying версии закона Литтла, интеграция с моделями вариабельности и overhead[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-kim2013-16)[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-whitt1991-13). ## Перспективы и направления исследований Обзоры (Little, 2011; Whitt, 1991) выделяют несколько направлений развития: - **Конечновременные и статистические версии** для реальных журналов событий, включая построение доверительных интервалов и коррекцию смещения. - **Time-varying Little's Law** для нестационарных сервисных систем. - **Взвешенные формы $H = \lambda G$** для экономических метрик (стоимость, запасы работы, риск). - **Распределительные формы** (distributional Little's law), связывающие не только средние, но и распределения. - **Интеграция с big-data мониторингом** реального времени и машинным обучением для прогнозирования в цепочках поставок и облачных вычислениях. - **Применение в сложных сетях и биологических системах**, включая модели экспрессии генов и экологические системы[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-little2011-3)[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_note-whitt1991-13). ## Хронология ключевых работ | Год | Автор(ы) | Вклад | |-----------|-------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------| | 1954 | A. Cobham | Использование соотношения $L = \lambda W$ без доказательства в работе по приоритетным очередям | | 1958 | P. M. Morse | Явная публикация формулы $L = \lambda W$ в книге «Queues, Inventories and Maintenance» | | 1961 | J. D. C. Little | Первое строгое доказательство общей теоремы в журнале *Operations Research* | | 1967 | W. S. Jewell | Упрощённое доказательство на основе теории восстановления | | 1969 | S. Eilon | Компактное доказательство без предположений о распределениях и числе серверов | | 1971 | S. Brumelle | Обобщение $H = \lambda G$ для взвешенных функций | | 1972–1974 | S. Stidham | Траекторное (sample-path) доказательство без вероятностных предпосылок | | 1988 | J. Keilson, L. Servi | Distributional Little's law — связь распределений | | 1991 | W. Whitt | Обзор $L = \lambda W$ и расширений | | 1995 | D. Bertsimas, D. Nakazato | Distributional Little's law и его приложения | | 2008 | J. D. C. Little, S. C. Graves | Обзорная глава с практическими примерами | | 2011 | J. D. C. Little | Обзор к 50-летию теоремы | | 2013 | S.-H. Kim, W. Whitt | Статистический анализ с законом Литтла; конечновременные оценки | Хронология развития закона Литтла - ## Ссылки - Little's law — Wikipedia (EN) - Sigman K. Notes on Little's Law — Columbia University - Little's Law as Viewed on Its 50th Anniversary — PDF ## Литература - Little, J. D. C. (1961). *A Proof for the Queuing Formula: L = λW*. Operations Research, 9(3), 383–387. DOI: 10.1287/opre.9.3.383. - Little, J. D. C. (2011). *Little's Law as Viewed on Its 50th Anniversary*. Operations Research, 59(3), 536–549. DOI: 10.1287/opre.1110.0940. - Little, J. D. C.; Graves, S. C. (2008). *Little's Law*. In: Building Intuition, Springer, pp. 81–100. DOI: 10.1007/978-0-387-73699-0_5. - Stidham, S. Jr. (1974). *A Last Word on L = λW*. Operations Research, 22(2), 417–421. DOI: 10.1287/opre.22.2.417. - Jewell, W. S. (1967). *A Simple Proof of: L = λW*. Operations Research, 15(6), 1109–1116. DOI: 10.1287/opre.15.6.1109. - Eilon, S. (1969). *A Simpler Proof of L = λW*. Operations Research, 17(5), 915–917. DOI: 10.1287/opre.17.5.915. - Whitt, W. (1991). *A Review of L = λW and Extensions*. Queueing Systems, 9, 235–268. DOI: 10.1007/BF01158466. - Keilson, J.; Servi, L. D. (1988). *A Distributional Form of Little's Law*. Operations Research Letters, 7(5), 223–227. DOI: 10.1016/0167-6377(88)90035-1. - Bertsimas, D.; Nakazato, D. (1995). *The Distributional Little's Law and Its Applications*. Operations Research, 43(2), 298–310. DOI: 10.1287/opre.43.2.298. - Kim, S.-H.; Whitt, W. (2013). *Statistical Analysis with Little's Law*. Operations Research, 61(4), 1030–1045. DOI: 10.1287/opre.2013.1193. - Hopp, W. J.; Spearman, M. L. (2011). *Factory Physics*. 3rd ed. Waveland Press. - Lovejoy, W. S.; Desmond, J. S. (2011). *Little's Law Flow Analysis of Observation Unit Impact and Sizing*. Academic Emergency Medicine, 18(2), 183–189. DOI: 10.1111/j.1553-2712.2010.00969.x. - El-Taha, M.; Stidham, S. Jr. (1999). *Sample-Path Analysis of Queueing Systems*. Springer. DOI: 10.1007/978-1-4615-5111-9. - Morse, P. M. (1958). *Queues, Inventories and Maintenance*. John Wiley & Sons. - Cobham, A. (1954). *Priority Assignment in Waiting Line Problems*. Operations Research, 2(1), 70–76. - Lazowska, E. D. et al. (1984). *Quantitative System Performance: Computer System Analysis Using Queueing Network Models*. Prentice-Hall. ## Примечания 1. ↑ [1,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little1961_1-0) [1,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little1961_1-1) [1,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little1961_1-2) [1,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little1961_1-3) [1,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little1961_1-4) Little J. D. C. «A Proof for the Queuing Formula: L = λW». *Operations Research*, 1961, vol. 9, no. 3, pp. 383–387. DOI: 10.1287/opre.9.3.383. 2. ↑ [2,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-stidham1974_2-0) [2,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-stidham1974_2-1) [2,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-stidham1974_2-2) [2,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-stidham1974_2-3) [2,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-stidham1974_2-4) Stidham S. Jr. «A Last Word on L = λW». *Operations Research*, 1974, vol. 22, no. 2, pp. 417–421. DOI: 10.1287/opre.22.2.417. 3. ↑ [3,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-0) [3,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-1) [3,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-2) [3,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-3) [3,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-4) [3,5](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-little2011_3-5) Little J. D. C. «Little's Law as Viewed on Its 50th Anniversary». *Operations Research*, 2011, vol. 59, no. 3, pp. 536–549. DOI: 10.1287/opre.1110.0940. 4. ↑ [4,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-hopp2011_4-0) [4,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-hopp2011_4-1) [4,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-hopp2011_4-2) Hopp W. J., Spearman M. L. *Factory Physics*. 3rd ed. Waveland Press, 2011. 5. ↑ [5,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-cohen2008_5-0) [5,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-cohen2008_5-1) Cohen J. E. «Constant global population with demographic heterogeneity». *Demographic Research*, 2008, vol. 18, pp. 409–436. DOI: 10.4054/DemRes.2008.18.14. 6. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-cobham1954_6-0) Cobham A. «Priority Assignment in Waiting Line Problems». *Operations Research*, 1954, vol. 2, no. 1, pp. 70–76. 7. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-morse1958_7-0) Morse P. M. *Queues, Inventories and Maintenance*. John Wiley & Sons, 1958. 8. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-jewell1967_8-0) Jewell W. S. «A Simple Proof of: L = λW». *Operations Research*, 1967, vol. 15, no. 6, pp. 1109–1116. DOI: 10.1287/opre.15.6.1109. 9. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-eilon1969_9-0) Eilon S. «A Simpler Proof of L = λW». *Operations Research*, 1969, vol. 17, no. 5, pp. 915–917. DOI: 10.1287/opre.17.5.915. 10. ↑ [10,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-littlegraves2008_10-0) [10,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-littlegraves2008_10-1) Little J. D. C., Graves S. C. «Little's Law». In: *Building Intuition: Insights from Basic Operations Management Models and Principles*. Springer, 2008, pp. 81–100. DOI: 10.1007/978-0-387-73699-0_5. 11. ↑ [11,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-sigman2009_11-0) [11,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-sigman2009_11-1) [11,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-sigman2009_11-2) [11,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-sigman2009_11-3) Sigman K. «Notes on Little's Law (l = λw)». Columbia University, 2009. 12. ↑ [12,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-lazowska1984_12-0) [12,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-lazowska1984_12-1) Lazowska E. D. et al. *Quantitative System Performance: Computer System Analysis Using Queueing Network Models*. Prentice-Hall, 1984. 13. ↑ [13,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-whitt1991_13-0) [13,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-whitt1991_13-1) [13,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-whitt1991_13-2) [13,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-whitt1991_13-3) [13,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-whitt1991_13-4) Whitt W. «A Review of L = λW and Extensions». *Queueing Systems*, 1991, vol. 9, pp. 235–268. DOI: 10.1007/BF01158466. 14. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-keilson1988_14-0) Keilson J., Servi L. D. «A Distributional Form of Little's Law». *Operations Research Letters*, 1988, vol. 7, no. 5, pp. 223–227. DOI: 10.1016/0167-6377(88)90035-1. 15. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-bertsimas1995_15-0) Bertsimas D., Nakazato D. «The Distributional Little's Law and Its Applications». *Operations Research*, 1995, vol. 43, no. 2, pp. 298–310. DOI: 10.1287/opre.43.2.298. 16. ↑ [16,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-0) [16,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-1) [16,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-2) [16,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-3) [16,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-4) [16,5](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-5) [16,6](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-kim2013_16-6) Kim S. H., Whitt W. «Statistical Analysis with Little's Law». *Operations Research*, 2013, vol. 61, no. 4, pp. 1030–1045. DOI: 10.1287/opre.2013.1193. 17. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-harris2010_17-0) Harris M. D. «Little's Law: The Science Behind Proper Staffing». *Emergency Physicians Monthly*, February 2010. 18. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B8%D1%82%D1%82%D0%BB%D0%B0#cite_ref-lovejoy2011_18-0) Lovejoy W. S., Desmond J. S. «Little's Law Flow Analysis of Observation Unit Impact and Sizing». *Academic Emergency Medicine*, 2011, vol. 18, no. 2, pp. 183–189. DOI: 10.1111/j.1553-2712.2010.00969.x.