--- title: "Задача о назначении минимального количества исполнителей" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Задача_о_назначении_минимального_количества_исполнителей" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Исследование операций" revision_id: 235 wiki_created_at: 2026-09-06T22:05:52Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:05:52Z downloaded_at: 2026-09-07T22:18:31Z --- # Задача о назначении минимального количества исполнителей **Задача о назначении минимального количества исполнителей** — задача [комбинаторной оптимизации](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Комбинаторная оптимизация") в прикладной математике и исследовании операций, в которой требуется выполнить все заданные работы при минимальном числе различных привлечённых исполнителей (работников, экипажей, бригад, ресурсов), соблюдая ограничения компетенций, бюджета и доступности. Задача обобщает задачу о покрытии множества (set cover problem) и имеет сходство с задачей о назначениях (assignment problem), но отличается возможностью назначения одному исполнителю нескольких работ при ограничении общего бюджета на затраты. Множество исполнителей и множество работ могут иметь произвольные размеры; цель — минимизировать число задействованных исполнителей при точном назначении каждой работы ровно одному исполнителю и соблюдении бюджетного ограничения. В базовой постановке, когда каждому исполнителю разрешено выполнять любое число совместимых задач, задача сводится к задаче покрытия множеств: требуется выбрать минимальное подмножество «наборов возможностей» исполнителей, чьё объединение покрывает все работы. В практических приложениях цель «минимизировать число исполнителей» часто выступает как суррогат минимизации фиксированных затрат (стоимость привлечения экипажа, активизации ресурса, ввода смены). Такой критерий естественным образом приводит к бинарным переменным выбора исполнителей и, как следствие, к моделям целочисленного линейного программирования (ILP) и смешанного целочисленного программирования (MILP).[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Yelbay-2) ## История и предпосылки ### Классические основы Фундаментальные идеи задачи восходят к классическим задачам комбинаторной оптимизации середины XX века. Задача о назначениях в классической форме (равное число исполнителей и работ, минимизация суммарной стоимости) сформулирована в 1930–1950-х годах; полиномиальный алгоритм решения — венгерский метод — предложен Гарольдом Куном в 1955 году на основе более ранних результатов Дэнеша Кёнига и Йено Эгервари о паросочетаниях в двудольных графах.[\[3\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Kuhn-3) Задача о покрытии множества, являющаяся теоретическим фундаментом для задачи о минимальном числе исполнителей, известна с 1960-х годов в контексте задач размещения и комбинаторной оптимизации. Её NP-полнота доказана Ричардом Карпом в 1972 году в рамках 21 NP-полной задачи.[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Karp-4) Формализация широкого круга комбинаторных задач (включая задачи покрытия и назначения) как задач бинарного/целочисленного программирования и их взаимные редукции стали центральным сюжетом ранней теории вычислительной сложности: показано, что многие «классические трудные» задачи из областей покрытия, сопоставления, маршрутизации, назначения и секвенирования имеют общий статус вычислительной трудности в смысле полиномиальных редукций.[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Karp-4) ### Задачи сменного планирования (1970–1990-е) В 1970–1990-х годах задачи сменного планирования и minimum shift design активно исследовались в контексте транспортной отрасли, здравоохранения и сервисных служб, где требовалось конструировать набор смен и одновременно определять минимальное число работников на смену для покрытия временных требований. В эти же десятилетия в литературе закрепляется термин «workforce sizing and scheduling» для задач определения необходимого числа работников и составления расписаний.[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ConradieJoubert-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Musliu-6) ### Развитие в 2000–2020-х годах В 2000-е и 2010-е годы развиваются специализированные постановки: задача минимизации смен (Minimum Shift Design Problem), задачи совместного планирования смен и задач (integrated shift and task scheduling), задачи минимизации числа работников при жёстко заданных временных окнах задач. В последние годы задачи размерирования персонала и минимизации числа исполнителей активно изучаются в транспортной логистике, деповском планировании локомотивных и маневровых бригад, а также в сфере умных систем планирования персонала (intelligent staff scheduling).[\[7\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Krishnamoorthy-7)[\[8\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Du-8) Параллельно развивались техники решения крупномасштабных целочисленных моделей: в 1960 году Данцигом и Вулфом был сформулирован декомпозиционный принцип для линейных программ, впоследствии ставший основой методов порождения столбцов, а к 2010-м годам методы порождения столбцов и их интеграции с ветвлением стали стандартными компонентами вычислительной оптимизации для моделей с очень большим числом переменных.[\[9\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-DantzigWolfe-9)[\[10\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Lubbecke-10) ## Теоретические основы ### NP-трудность Задача относится к классу NP-трудных комбинаторных задач, поскольку её подзадача выбора минимального подмножества исполнителей, способных покрыть все работы в рамках бюджета, обобщает NP-полную задачу о покрытии множества. При установке бесконечных затрат на несовместимые пары «исполнитель — работа» и достаточно большом бюджете задача точно совпадает с задачей покрытия множеств.[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Karp-4)[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-GareyJohnson-11) Из NP-полноты вытекает типичная практика решений: (i) точные методы на основе ILP/MILP применимы к умеренным размерностям и к структурам с сильной релаксацией, (ii) для больших или «плохо обусловленных» экземпляров используются эвристики/метаэвристики и гибридные схемы, (iii) прикладные постановки часто решаются по декомпозиции (разделение на подзадачи выбора/назначения/построения пакетов).[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1) ### Связь с задачей покрытия множеств В базовой «компетенционной» модели задано множество работ $U = \{ 1,\ldots,m\}$ и множество исполнителей $E = \{ 1,\ldots,n\}$. Для каждого исполнителя $i \in E$ задано множество работ $S_{i} \subseteq U$, которые он способен выполнить. Требуется выбрать минимальное по мощности множество исполнителей $E^{\prime} \subseteq E$ такое, что:[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1)[\[12\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Chvatal-12) $\bigcup\limits_{i \in E^{\prime}}S_{i} = U$ то есть каждая работа покрыта хотя бы одним выбранным исполнителем. Во взвешенной версии каждому исполнителю приписывается стоимость $c_{i} > 0$, и минимизируется $\sum\limits_{i \in E^{\prime}}c_{i}$. ### Связь с задачей назначения и максимальной одновременной загрузкой В простейшей однородной постановке, когда все исполнители эквивалентны, а каждая задача характеризуется интервалом времени $\lbrack s_{i},e_{i})$ и требует одного исполнителя, минимальное количество исполнителей эквивалентно максимальному числу попарно пересекающихся задач (maximum concurrency). В этом случае задача сводится к оценке хроматического числа интервального графа или к вычислению максимальной нагрузки по времени. Классический алгоритм решения основан на сортировке временных точек начала и окончания задач и подсчёте максимальной одновременной занятости и обеспечивает полиномиальное время работы $O(n\log n)$.[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-DasguptaPV-13) ### Связь с частичными порядками Если работам сопоставлены интервалы времени или отношение предшествования, и один исполнитель может выполнять цепочку работ только при соблюдении совместимости, то возникает постановка минимального числа цепочек, покрывающих множество работ. В терминах частично упорядоченного множества (poset) минимальное число цепей, покрывающих множество, равно мощности максимальной антицепи (теорема Дилуорса). Это даёт строгие нижние границы «сколько исполнителей необходимо параллельно» и в ряде случаев приводит к полиномиально решаемым специальным случаям.[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-DasguptaPV-13)[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1) ### Тотальная унимодулярность и полиномиальные случаи Для ряда структурированных классов задач точное целочисленное решение совпадает с решением линейной релаксации, если матрица ограничений обладает свойством тотальной унимодулярности (totally unimodular, TU) и правая часть целочисленна. Важный достаточный признак TU-структуры для практики планирования: интервальные матрицы (0–1 матрицы, в каждой строке единицы идут подряд) являются тотально унимодулярными. Это связывает частные случаи «назначить минимальное число исполнителей при интервальных ограничениях» с точной разрешимостью через линейное программирование.[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1) ## Методология ### Формальная постановка (модель покрытия множеств) В общей постановке с бинарными переменными выбора исполнителей и матрицей совместимости $a_{ij} \in \{ 0,1\}$, формулировка принимает вид:[\[1\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Schrijver-1)[\[14\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Winston-14) $\min\sum\limits_{i = 1}^{n}x_{i}\quad\text{при}\quad\sum\limits_{i:\, j \in S_{i}}x_{i} \geq 1\;\;\forall\, j \in U,\quad x_{i} \in \{ 0,1\}$ ### Модель покрытия требований по периодам При дискретизации времени по периодам $t \in T$ и заданных требованиях по численности $b_{t}$ для каждого периода, а также заданном множестве допустимых смен $S$, каждая смена $s \in S$ покрывает подмножество периодов $T_{s} \subseteq T$. Задача минимизации числа исполнителей или смен сводится к модели покрытия:[\[14\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Winston-14)[\[6\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Musliu-6) $\min\sum\limits_{s \in S}x_{s}\quad\text{при}\quad\sum\limits_{s \in S}a_{ts}\, x_{s} \geq b_{t},\; t \in T,\quad x_{s} \in {\mathbb{Z}}_{+}$ где $a_{ts} = 1$, если смена $s$ покрывает период $t$, и 0 иначе. ### Точные методы Модель ЦЛП решается стандартными ILP-солверами (CPLEX, Gurobi, LPSolve, Excel Solver) методами ветвей и границ, отсечений или их комбинаций. Для малых размерностей ($n,m \leq 20\text{–}30$) применим полный перебор подмножеств исполнителей с последующим решением задачи о назначениях внутри подмножества (венгерский алгоритм или транспортная задача). Для умеренных размерностей ($n,m \leq 50\text{–}100$) задача решается солверами напрямую.[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Yelbay-2) ### Жадные алгоритмы для покрытия множеств Для невзвешенного покрытия множеств стандартный жадный алгоритм на каждом шаге выбирает множество, покрывающее максимальное число ещё не покрытых элементов. Он обеспечивает логарифмическую гарантию: если оптимум использует $k$ множеств и $|U| = n$, то жадный алгоритм выбирает не более $k\ln n$ множеств. Для взвешенного варианта стоимость покрытия ограничивается сверху множителем порядка $\Theta(\log d)$ от оптимума, где $d$ — максимальный размер множества.[\[12\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Chvatal-12)[\[15\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-CaoSetCover-15) ### Барьеры аппроксимации Существуют строгие результаты о трудности улучшения логарифмического порядка аппроксимации: показано, что $(1 - o(1))\ln n$ является порогом, ниже которого аппроксимация покрытия множеств не достигается полиномиальными алгоритмами при стандартных предположениях теории сложности.[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Feige-16) ### Колонковая генерация и декомпозиция При наличии очень большого числа потенциальных смен или расписаний работников применяется колонковая генерация (column generation) и декомпозиция по Данцигу–Вулфу. Мастер-задача обычно представляет собой задачу покрытия, где каждая колонка — допустимое расписание работника, а стоимость — 1 (минимизация числа работников). Подзадача представляет собой модели типа «shortest path» или задачи целочисленного программирования, генерирующие новые колонки с отрицательной приведённой стоимостью. Процедура повторяется до оптимальности релаксации.[\[9\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-DantzigWolfe-9)[\[10\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Lubbecke-10)[\[17\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-MunariColGen-17) ### Метаэвристики и гибридные методы Для крупных практических инстансов применяются метаэвристические подходы: генетические алгоритмы, имитация отжига, табу-поиск и гибриды, совмещающие точные и эвристические компоненты. В работах по минимальному покрытию множеств и планированию смен описаны гибридные эвристики, сочетающие жадные процедуры выбора смен и локальный поиск с целью уменьшения числа смен и работников при сохранении покрытия требований.[\[18\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-CapraraHybrid-18) ### Двухэтапные подходы Распространённым является двухэтапный подход: на первом этапе проводится размерирование персонала (определение минимального числа работников), а на втором — детальное назначение работников на конкретные задания, смены и дни. На первом этапе применяются агрегированные модели, статистическая регрессия и симуляция; на втором — детальные ILP-модели для составления расписаний.[\[19\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-FengDepot-19)[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ConradieJoubert-5) ## Ключевые результаты и эмпирические данные ### Результаты для интервальных задач Для задач с интервальными заданиями минимальное число работников $m^{\ast}$ равно максимальному числу перекрывающихся задач в любой момент времени. Алгоритм на основе сортировки временных точек работает за $O(n\log n)$ и широко используется в инженерной практике.[\[13\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-DasguptaPV-13) ### Результаты для задачи SMPTSP В задаче минимизации смен для персонального планирования задач (Shift Minimization Personnel Task Scheduling Problem, SMPTSP) предложены модели целочисленного программирования и процедуры получения нижних границ, протестированные на наборах тестовых данных. Численные эксперименты показали улучшенные нижние границы по сравнению с ранее опубликованными методами.[\[7\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Krishnamoorthy-7) ### Результаты для размерирования экипажей В исследовании двухэтапного подхода к назначению маневровых машинистов в железнодорожном депо построенная регрессионная модель для оценки необходимого количества работников демонстрирует коэффициент детерминации $R^{2} = 0,905$, что означает, что 90,5 % вариации оптимального размера экипажей объясняется включёнными признаками.[\[19\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-FengDepot-19) ### Бенчмарки для задачи покрытия множеств В вычислительной литературе широко используются смешанные наборы тестов. В одном из крупных эмпирических исследований экземпляры группировались в классы: евклидовы/коррелированные задачи (320 экземпляров), задачи расписаний экипажей (16 экземпляров), железнодорожные экземпляры крупного масштаба (7 экземпляров), «hard cost and coverage correlated» (30 экземпляров) и невзвешенные экземпляры (21 экземпляр). Показано, что использование ограниченной постановки (restricted SCP) с опорой на двойственную информацию из LP-релаксации может существенно сократить время решения: для одного из классов задач среднее время уменьшалось с 53,8 с до менее 1 с при среднем разрыве 1,33 %. Отдельный индикатор масштаба «индустриальных» экземпляров — число столбцов порядка $10^{6}$ при тысячах строк в матрице покрытия.[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Yelbay-2) ## Классификация задач Задачи минимизации числа исполнителей классифицируются по нескольким измерениям:[\[20\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ErnstReview-20)[\[21\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ORMM-21) | Измерение | Варианты | |---------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| | Структура времени | Непрерывные интервалы; дискретные слоты; многопериодные горизонты | | Однородность исполнителей | Однородные (identical workers); гетерогенные (heterogeneous workforce) с различными навыками и производительностью | | Структура задач | Одиночные работы; наборы заданий с фиксированным временем начала и окончания; совокупности микрозаданий в рамках смен | | Бюджетные ограничения | Без ограничения; с общим бюджетом; с индивидуальными бюджетами исполнителей | | Уровень интеграции | Чистое размерирование штата; интегрированное размерирование и планирование (sizing and scheduling); совместное планирование смен и заданий | ## Применение ### Транспорт и логистика В транспортной отрасли задачи минимизации числа экипажей и персонала возникают при планировании машинистов, кондукторов, шофёров и маневровых бригад. В деповском планировании рассматривается необходимость покрыть определённый набор поездок или маневровых задач с минимальным числом экипажей, соблюдая ограничения по сменам, времени отдыха и квалификации. В задачах crew pairing единицей решения становится «пакет работ», включающий последовательность рейсов, допустимую по правилам стыковок, отдыха и базирования.[\[19\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-FengDepot-19)[\[22\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Barnhart-22) ### Здравоохранение и услуги В здравоохранении задачи минимизации численности персонала используются при планировании работы медицинских сестёр, врачей и вспомогательного персонала, когда необходимо обеспечить минимальное количество сотрудников на смену при соблюдении требований по безопасности и уровню обслуживания. Аналогичные постановки возникают в службах экстренного реагирования, клининговых и охранных компаниях.[\[20\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ErnstReview-20)[\[23\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Dantas-23) ### Производство и сервисные центры В производственных системах и сервисных центрах задачи размерирования персонала используются для определения минимального числа операторов, способных обслужить заданный поток работ при допустимом уровне качества обслуживания и времени ожидания.[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ConradieJoubert-5) ### Интеллектуальные системы планирования В системах поддержки принятия решений (Decision Support Systems) задача определения минимально необходимого числа сотрудников является ключевым модулем, обеспечивающим базовый уровень ресурсного обеспечения, после чего строятся детальные расписания и назначения.[\[8\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Du-8)[\[21\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ORMM-21) ## Ограничения и открытые проблемы - **Вычислительная сложность.** Большинство формулировок задач минимизации числа исполнителей, включающих реалистичные ограничения (смены, навыки, перерывы, многопериодность), относятся к NP-трудным задачам, что ограничивает возможность получения строгих оптимальных решений для крупных инстансов.[\[4\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Karp-4)[\[11\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-GareyJohnson-11) - **Аппроксимационные ограничения.** Логарифмический порядок гарантии жадных алгоритмов для покрытия множеств согласуется с доказанными порогами трудности аппроксимации. Улучшения обычно достигаются за счёт использования структуры (специальные классы матриц/графов) либо через гибридизацию без строгих универсальных гарантий.[\[16\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Feige-16)[\[12\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Chvatal-12) - **Ограничения модельных допущений.** «Исполнитель покрывает задачу» часто является упрощением: реальные ограничения включают нормативы отдыха, обучение, предпочтения, неравномерность нагрузок.[\[20\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ErnstReview-20) - **Динамическая и стохастическая природа спроса.** Большинство классических моделей предполагают детерминированный спрос, тогда как в практических приложениях спрос носит стохастический характер. Необходимы стохастические и робастные модели размерирования.[\[5\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-ConradieJoubert-5) ## Перспективы и направления исследований Направления дальнейших исследований, обозначенные в литературе:[\[19\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-FengDepot-19)[\[8\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Du-8)[\[2\]](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_note-Yelbay-2) - Разработка аппроксимационных алгоритмов с гарантированным отношением (аналогично set cover $\ln m$-приближению). - Развитие интегрированных моделей, объединяющих размерирование персонала, планирование смен и назначение задач в единую многоуровневую структуру с учётом неопределённости. - Стохастические и многоцелевые версии (минимизация числа исполнителей и затрат одновременно, учёт неопределённости бюджета). - Разработка более эффективных методов декомпозиции и колонковой генерации, адаптированных к крупномасштабным задачам. - Включение данных о производительности и усталости работников в модели, переход к адаптивным и динамическим подходам. - Использование методов машинного обучения для предсказания будущих требований к персоналу и интеграции прогнозов в оптимизационные модели. - Применение метаэвристик (генетические алгоритмы, муравьиные колонии) и машинного обучения для инициализации решений ЦЛП. - Расширение на задачи маршрутизации, планирования и облачных вычислений (минимизация числа виртуальных машин). - Применение квантовых алгоритмов для решения комбинаторных задач. ## См. также - [Задача о назначениях](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85 "Задача о назначениях") - [Задача о коммивояжёре](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%8F%D0%B6%D1%91%D1%80%D0%B0 "Задача коммивояжёра") - [Комбинаторная оптимизация](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Комбинаторная оптимизация") - [Анализ чувствительности](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D1%87%D1%83%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 "Анализ чувствительности") - [Выбор](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%92%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Выбор") ## Ссылки - https://en.wikipedia.org/wiki/Assignment_problem — Assignment problem (англ. Википедия) - https://ormm.readthedocs.io/en/latest/mathprog/employee.html — Employee Scheduling Problem (ORMM) ## Литература - Kuhn H. W. The Hungarian method for the assignment problem // Naval Research Logistics Quarterly. — 1955. — Vol. 2. — P. 83–97. - Karp R. M. Reducibility among Combinatorial Problems // Complexity of Computer Computations. — 1972. — P. 85–103. - Garey M. R., Johnson D. S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — Freeman, 1979. - Chvátal V. A Greedy Heuristic for the Set-Covering Problem // Mathematics of Operations Research. — 1979. — Vol. 4, No. 3. — P. 233–235. - Feige U. A Threshold of ln n for Approximating Set Cover // Journal of the ACM. — 1998. — Vol. 45, No. 4. — P. 634–652. - Ernst A. T., Jiang H., Krishnamoorthy M., Sier D. Staff scheduling and rostering: A review of applications, methods and models // European Journal of Operational Research. — 2004. — 153. — P. 3–27. - Dantzig G. B., Wolfe P. Decomposition Principle for Linear Programs // Operations Research. — 1960. — 8(1). — P. 101–111. - Schrijver A. A Course in Combinatorial Optimization. — CWI, 2017. - Dasgupta S., Papadimitriou C. H., Vazirani U. V. Algorithms. — Draft textbook, 2006. ## Примечания 1. ↑ [1,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-0) [1,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-1) [1,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-2) [1,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-3) [1,4](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-4) [1,5](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Schrijver_1-5) Schrijver A. *A Course in Combinatorial Optimization*. CWI, 23.03.2017. https://homepages.cwi.nl/~lex/files/dict.pdf 2. ↑ [2,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Yelbay_2-0) [2,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Yelbay_2-1) [2,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Yelbay_2-2) [2,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Yelbay_2-3) Yelbay B., Birbil Ş. İ., Bülbül K. *The Set Covering Problem Revisited: An Empirical Study of the Value of Dual Information*. Technical report, 12.04.2014. https://research.sabanciuniv.edu/27187/1/SCP_ValueOfDual.pdf 3. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Kuhn_3-0) Kuhn H. W. The Hungarian method for the assignment problem // Naval Research Logistics Quarterly. — 1955. — Vol. 2. — P. 83–97. 4. ↑ [4,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Karp_4-0) [4,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Karp_4-1) [4,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Karp_4-2) [4,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Karp_4-3) Karp R. M. Reducibility among Combinatorial Problems // Complexity of Computer Computations. — 1972. — P. 85–103. https://page-one.springer.com/pdf/preview/10.1007/978-1-4684-2001-2_9 5. ↑ [5,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ConradieJoubert_5-0) [5,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ConradieJoubert_5-1) [5,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ConradieJoubert_5-2) [5,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ConradieJoubert_5-3) Conradie D. G., Joubert J. W. Workforce sizing and scheduling for a service contractor using integer programming // SA Journal of Industrial Engineering. — 2004. — 15(2). — P. 133–147. https://pdfs.semanticscholar.org/1c6d/dda6ccfd7da0874153883470530ec8390afc.pdf 6. ↑ [6,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Musliu_6-0) [6,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Musliu_6-1) Musliu N. et al. The minimum shift design problem. Technical Report, Vienna University of Technology. https://www.dbai.tuwien.ac.at/staff/musliu/ShiftAnnals.pdf 7. ↑ [7,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Krishnamoorthy_7-0) [7,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Krishnamoorthy_7-1) Krishnamoorthy M., Ernst A. T. et al. The shift minimization personnel task scheduling problem // Hacettepe University Journal of Economics and Administrative Sciences. — 2016. — Vol. 34, Issue 2. — P. 115–132. https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/837913 8. ↑ [8,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Du_8-0) [8,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Du_8-1) [8,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Du_8-2) Du J. et al. Deriving the minimum staff number requirement for intelligent staff scheduling: An efficient constructive method and application // Expert Systems, Wiley. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/exsy.12975 9. ↑ [9,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-DantzigWolfe_9-0) [9,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-DantzigWolfe_9-1) Dantzig G. B., Wolfe P. Decomposition Principle for Linear Programs // Operations Research. — 1960. — 8(1). — P. 101–111. https://ise.ncsu.edu/wp-content/uploads/sites/9/2020/08/decomposition-opre.8.1.pdf 10. ↑ [10,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Lubbecke_10-0) [10,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Lubbecke_10-1) Lübbecke M. E. Column Generation // Contributed to Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science, 07.06.2010. https://www.or.rwth-aachen.de/files/research/publications/colgen.pdf 11. ↑ [11,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-GareyJohnson_11-0) [11,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-GareyJohnson_11-1) Garey M. R., Johnson D. S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — Freeman, 1979. 12. ↑ [12,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Chvatal_12-0) [12,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Chvatal_12-1) [12,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Chvatal_12-2) Chvátal V. A Greedy Heuristic for the Set-Covering Problem // Mathematics of Operations Research. — 1979. — Vol. 4, No. 3. — P. 233–235. https://people.stfx.ca/tjsmith/lec/W23CSCI435/Chv79.pdf 13. ↑ [13,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-DasguptaPV_13-0) [13,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-DasguptaPV_13-1) [13,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-DasguptaPV_13-2) Dasgupta S., Papadimitriou C. H., Vazirani U. V. *Algorithms* (draft textbook), 2006. https://people.eecs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/ 14. ↑ [14,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Winston_14-0) [14,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Winston_14-1) Winston W. L., Goldberg J. B. Operations Research: Applications and Algorithms. Chapter 7: Covering, Staffing & Cutting Stock Models. Cengage Learning. http://www.lindochina.com/pic/000/Chapter7.pdf 15. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-CaoSetCover_15-0) Cao M. CMSC 451: Lecture 7 — Greedy Approximation: Set Cover. University of Maryland, 2011. http://www.eecs.tufts.edu/~mcao01/2011s/AdvancedAlg/SetCover.pdf 16. ↑ [16,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Feige_16-0) [16,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Feige_16-1) Feige U. A Threshold of ln n for Approximating Set Cover // Journal of the ACM. — 1998. — Vol. 45, No. 4. — P. 634–652. https://courses.cs.duke.edu/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf 17. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-MunariColGen_17-0) Munari P. et al. A column generation approach for the integrated shift and task scheduling problem // European Journal of Operational Research. — 2017. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0377221716310608 18. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-CapraraHybrid_18-0) Caprara A. et al. Hybrid heuristic algorithms for set covering // European Journal of Operational Research. — 1999. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0305054897000841 19. ↑ [19,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-FengDepot_19-0) [19,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-FengDepot_19-1) [19,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-FengDepot_19-2) [19,3](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-FengDepot_19-3) Feng X. et al. A two-stage approach to the depot shunting driver assignment problem with workforce sizing // Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review. — 2017. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5509307/ 20. ↑ [20,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ErnstReview_20-0) [20,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ErnstReview_20-1) [20,2](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ErnstReview_20-2) Ernst A. T., Jiang H., Krishnamoorthy M., Sier D. Staff scheduling and rostering: A review of applications, methods and models // European Journal of Operational Research. — 2004. — 153. — P. 3–27. https://csc595.files.wordpress.com/2012/12/staff-scheduling-and-rostering-a-review-of-applications-methods-and-modelsread.pdf 21. ↑ [21,0](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ORMM_21-0) [21,1](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-ORMM_21-1) ORMM Project. Employee Scheduling Problem. 2021. https://ormm.readthedocs.io/en/latest/mathprog/employee.html 22. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Barnhart_22-0) Barnhart C., Johnson E. L., Nemhauser G. L., Vance P. H. Crew Scheduling // Handbook of Transportation Science. — 1999. https://page-one.springer.com/pdf/preview/10.1007/978-1-4615-5203-1_14 23. [↑](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9#cite_ref-Dantas_23-0) Dantas E. M. et al. An optimisation approach to road sanitation workforce planning // Journal of Industrial and Production Engineering. — 2020. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2226585620301564