--- title: "Zulässiger Bereich" source: "https://systems-analysis.info/int/Zul%C3%A4ssiger_Bereich" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Zulässiger_Bereich" language: "de" categories: - "Category:German" - "Category:Mathematical modeling" - "Category:Operations research" - "Category:Systems analysis terms" - "Category:Terminology" revision_id: 8581 wiki_created_at: 2026-09-07T01:19:31Z wiki_modified_at: 2026-09-07T01:19:31Z downloaded_at: 2026-09-07T23:26:15Z --- # Zulässiger Bereich **Zulässiger Bereich** (auch **zulässige Lösungsmenge**, **zulässige Menge**; englisch *Feasible region, feasible set*) ist im Operations Research, der Optimierung und der [mathematischen Modellierung](https://systems-analysis.info/int/Mathematische_Modellierung "Mathematische Modellierung") die Menge aller möglichen Lösungen (Sätze von Variablenwerten), die **alle** Nebenbedingungen (Restriktionen) eines Problems erfüllen. Der zulässige Bereich stellt den Unterraum dar, in dem nach der [optimalen Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung") gesucht wird. Jede Lösung, die außerhalb dieses Bereichs liegt, ist unzulässig. ## Definition und Abgrenzung Der zulässige Bereich wird als Schnitt der Mengen gebildet, die durch jede einzelne Nebenbedingung des Problems definiert werden. Die Nebenbedingungen können in folgender Form vorliegen: - **Ungleichungen:** Legen obere oder untere Schranken für die Werte von Variablen oder deren Kombinationen fest (z. B. „Der Verbrauch von Ressource A darf 100 Einheiten nicht überschreiten“, „Die produzierte Stückzahl muss mindestens 50 betragen“). - **Gleichungen:** Erfordern die exakte Erfüllung einer Bedingung (z. B. „Das Gesamttransportvolumen muss genau 1000 Tonnen betragen“, „Die Bilanz der ein- und ausgehenden Ströme ist null“). - **Vorzeichenbedingungen für Variablen:** Oft müssen Variablen nicht-negativ, ganzzahlig sein oder einer bestimmten diskreten Menge angehören. Ein Punkt (oder ein Vektor von Variablenwerten) gehört genau dann zum zulässigen Bereich, wenn er alle diese Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllt. ## Geometrische Interpretation Der zulässige Bereich hat oft eine anschauliche geometrische Interpretation, insbesondere bei Problemen mit einer geringen Anzahl von Variablen: - **Im zweidimensionalen Raum (2 Variablen):** Jede lineare Nebenbedingungs-Ungleichung definiert eine Halbebene. Der zulässige Bereich ist der Schnitt dieser Halbebenen – ein konvexes Polygon (möglicherweise unbeschränkt oder leer). - **Im dreidimensionalen Raum (3 Variablen):** Jede lineare Nebenbedingungs-Ungleichung definiert einen Halbraum. Der zulässige Bereich ist der Schnitt dieser Halbräume – ein konvexes Polyeder. - **Im mehrdimensionalen Raum:** Ein durch lineare Nebenbedingungen definierter zulässiger Bereich ist ein konvexes Polytop. Bei nichtlinearen Nebenbedingungen kann der zulässige Bereich eine komplexere Form haben und nicht-konvex sein. ## Rolle in der Optimierung Der zulässige Bereich spielt eine fundamentale Rolle in der Optimierung: 1. **Definition des Suchraums:** Die [optimale Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung") eines Problems (sofern sie existiert) befindet sich **immer** innerhalb des zulässigen Bereichs oder an dessen Rand. Optimierungsalgorithmen suchen das Extremum der [Zielfunktion](https://systems-analysis.info/int/Zielfunktion "Zielfunktion") genau in diesem Bereich. 2. **Prüfung der Existenz von Lösungen:** Wenn der zulässige Bereich eine leere Menge ist (d.h., die Nebenbedingungen widersprechen sich), dann hat das Problem keine zulässigen Lösungen und somit auch keine [optimale Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung"). 3. **Einfluss auf die [optimale Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung"):** Die Form und Größe des zulässigen Bereichs beeinflussen direkt die Möglichkeit, das Extremum der [Zielfunktion](https://systems-analysis.info/int/Zielfunktion "Zielfunktion") zu erreichen, sowie den Wert dieses Extremums. ## Eigenschaften des zulässigen Bereichs (in der linearen Programmierung) Bei Problemen der linearen Programmierung (LP), bei denen alle Nebenbedingungen und die [Zielfunktion](https://systems-analysis.info/int/Zielfunktion "Zielfunktion") linear sind, besitzt der zulässige Bereich wichtige Eigenschaften: - **Konvexität:** Wenn zwei Punkte zum zulässigen Bereich gehören, dann gehört auch die gesamte Strecke, die diese beiden Punkte verbindet, zum zulässigen Bereich. Diese Eigenschaft garantiert, dass die [optimale Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung") (sofern sie existiert und eindeutig ist) in einer der Ecken des Polyeders liegt, das den zulässigen Bereich bildet. - **Abgeschlossenheit:** Der zulässige Bereich schließt seine Grenzen mit ein (aufgrund von nicht-strengen Ungleichungen ≤, ≥ und Gleichungen). Der zulässige Bereich kann sein: - **Beschränkt:** Er hat endliche Ausmaße. - **Unbeschränkt:** Er erstreckt sich in eine oder mehrere Richtungen ins Unendliche. - **Leer:** Er enthält keinen einzigen Punkt. ## Siehe auch - Operations Research - Optimierung - [Mathematisches Modell](https://systems-analysis.info/int/Mathematisches_Modell "Mathematisches Modell") - Nebenbedingung - Zulässige Lösung - [Optimale Lösung](https://systems-analysis.info/int/Optimale_L%C3%B6sung "Optimale Lösung") - [Zielfunktion](https://systems-analysis.info/int/Zielfunktion "Zielfunktion") - Lineare Optimierung - Konvexe Menge ## Literatur - *Вентцель Е. С.* Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. - *Акоф Р., Сасиени М.* Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971. - *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017) - *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)