---
title: "Többkritériumos optimalizálás"
source: "https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Többkritériumos_optimalizálás"
language: "hu"
categories:
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Hungarian"
  - "Category:Operations research"
revision_id: 8340
wiki_created_at: 2026-09-07T01:15:55Z
wiki_modified_at: 2026-09-07T01:15:55Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:24:51Z
---

# Többkritériumos optimalizálás

**Többkritériumos optimalizálás** (más néven **többkritériumos programozás**, angolul *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — a matematikai optimalizálás azon területe, amely két vagy több, általában egymással konfliktusban álló célfüggvény (kritérium) egyidejű optimalizálásának feladatát vizsgálja<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Formálisan a feladat egy vektoros célfüggvény minimalizálásaként írható fel a megengedett megoldások halmazán.

## Definíció és terminológia

A többkritériumos optimalizálási feladat általános alakja a következő: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ ahol $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ a megengedett megoldások nemüres halmaza, $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ pedig a célfüggvények ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. A $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ vektort célvektornak nevezzük.

Az egykritériumos optimalizálással ellentétben a többkritériumos felállásban általában nem létezik egyetlen olyan megoldás, amely egyszerre minden kritérium értékét javítja. Ezért az optimum klasszikus fogalmát a Pareto-optimalitás koncepciójával általánosítják<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Pareto-megoldás** (Pareto-optimális vagy hatékony megoldás): olyan megengedett $x^{\ast} \in S$ megoldás, amelyhez nem létezik olyan másik $x \in S$ megoldás, amelyre $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ teljesül minden $i = 1,\ldots,k$ esetén, és emellett $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ legalább egy $j$ indexre<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. Más szóval egy megoldás Pareto-optimális, ha egyetlen kritérium értéke sem javítható legalább egy másik kritérium értékének rontása nélkül.
- **Pareto-front** (vagy Pareto-halmaz): az összes Pareto-optimális megoldáshoz tartozó célvektor halmaza.
- **Gyengén Pareto-optimális megoldás**: olyan $x^{\ast} \in S$ megoldás, amelyhez nem létezik olyan másik $x \in S$ megoldás, amelyre $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ teljesül minden $i$ esetén.

## Főbb tulajdonságok és tételek

- **Súlyozott összeg tétele**: Konvex feladatokban (ahol az összes $f_{i}(x)$ függvény és a $S$ halmaz konvex) minden Pareto-optimális $x^{\ast}$ megoldás megoldása a kritériumok $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ súlyozott összegét minimalizáló skaláris feladatnak valamely nemnegatív $w_{i} \geq 0$ súlykészlet mellett. Nemkonvex feladatokban azonban ez a módszer nem feltétlenül találja meg a Pareto-front egyes részeit<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

<!-- -->

- **Karush–Kuhn–Tucker (KKT) optimalitási feltételek**: A sima feladatokra vonatkozó szükséges optimalitási feltételek általánosíthatók a többkritériumos esetre. A Pareto-optimum pontjában létezik nemnegatív szorzók (súlyok) egy nullától különböző halmaza, amelyekre a célfüggvények és az aktív korlátok gradienseinek lineáris kombinációja nulla<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

<!-- -->

- **A megoldáshalmaz tulajdonságai**: A Pareto-front számos fontos minőségi jellemzővel rendelkezik. Határát az **ideális pont** (amelyet az összes kritérium elemenként vett minimumaiból alkotnak) és a **nadírpont** (a fronton elemenként vett maximumokból) határolja<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Példák

- **Lineáris feladat**: Minimalizálandó $f_{1}(x) = - x_{1}$ és $f_{2}(x) = - x_{2}$ a $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$ korlátok mellett. Itt az egyik kritérium javítása (például $x_{1}$ növelése) szükségszerűen a másik rontásához vezet (a $x_{2}$ csökkenéséhez). A Pareto-optimális megoldások halmaza a $x_{1} + x_{2} = 1$ egyenes egy szakasza.
- **Nemkonvex feladat**: Minimalizálandó $f_{1}(x) = x^{2}$ és $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ a $\lbrack 0,2\rbrack$ szakaszon. A Pareto-front nemkonvex. A pozitív súlyokat alkalmazó súlyozott összeg módszer nem képes megtalálni a szakasz belső megoldásait (például a $x = 1$ pontban), mivel a kritériumok lineáris kombinációja csak a $x = 0$ vagy $x = 2$ szélső pontokban veszi fel minimumát<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Kapcsolódó fogalmak és alkalmazások

A többkritériumos optimalizálás szorosan kapcsolódik a többkritériumos döntéshozatalhoz (MCDM), amely a döntéshozó preferenciáit figyelembe véve vizsgálja a legjobb alternatíva kiválasztását. A többkritériumos feladat skaláris feladattá alakításának (skalárizálásának) főbb módszerei:

- **Súlyozott összeg módszer**.
- **$\varepsilon$-korlát módszer**: Egyetlen kritériumot optimalizálnak, a többit $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$ alakú korlátokká alakítják. Ez a módszer képes a front nemkonvex szakaszain lévő megoldásokat is megtalálni<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

A többkritériumos optimalizálás széles körben alkalmazzák mérnöki tervezésben, közgazdaságtanban (például portfólióoptimalizálás), menedzsmentben és ökológiában.

## Lásd még

- Pareto-optimalitás
- Vektoros optimalizálás
- Döntéselmélet
- Döntéstámogató rendszerek
- Operációkutatás

## Megjegyzések

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/T%C3%B6bbkrit%C3%A9riumos_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>