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title: "Stochastic programming — 随机规划"
source: "https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92"
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article: "Stochastic_programming_—_随机规划"
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revision_id: 6922
wiki_created_at: 2026-09-07T00:13:19Z
wiki_modified_at: 2026-09-07T00:13:19Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:16:26Z
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# Stochastic programming — 随机规划
**随机规划**（英语：*stochastic programming*）是数学规划的一个分支，为不确定性条件下的优化问题开发模型和求解方法。在此类问题中，模型的某些参数并非精确已知，而是被视为具有已知或估计概率分布的随机变量[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-shapiro2009-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-birge2011-2)。
与所有数据都视为给定常数的确定性问题不同，随机规划的目标是找到在某种统计意义上最优的解（或决策策略）。这通常意味着最小化或最大化目标函数的数学期望[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-shapiro2009-1)。其核心思想是找到一个在所有随机参数的可能实现中“平均”表现最佳的决策策略，这对于需要在相似条件下重复决策的问题（例如，库存管理或能源系统管理）尤为重要[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-ru-wiki-sp-3)。
## 问题的数学表述
随机规划问题的一般形式可以表述为： $\min\limits_{x \in X}{\mathbb{E}}\lbrack f(x,\xi)\rbrack$ 其中：
- $x$ — 需要确定的决策变量向量。
- $X$ — 由确定性约束定义的可行解集。
- $\xi$ — 代表问题中不确定参数（如需求、价格、天气状况）的随机向量。
- $f(x,\xi)$ — 目标函数，其值取决于决策 $x$ 和随机向量 $\xi$ 的实现。
- ${\mathbb{E}}\lbrack \cdot \rbrack$ — 数学期望算子，根据向量 $\xi$ 的概率分布进行计算。
多阶段随机模型的一个基本原则是**不可预见性原则**（英语：*non-anticipativity principle*）。该原则指出，在任何阶段做出的决策只能依赖于截至该时刻已知的信息，而不能“预见未来”[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-birge2011-2)。
### 带追索权的两阶段问题
最常见的模型是**带追索权的两阶段随机规划**（英语：*two-stage stochastic program with recourse*）[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-shapiro2009-1)。决策过程分为两个阶段：
1. **第一阶段：** 做出“此时此地”（*here-and-now*）的决策——确定向量 $x$。该决策必须在随机向量 $\xi$ 的具体实现揭晓之前做出。
2. **第二阶段：** 在随机事件发生后，做出一个修正性或补偿性的“追索决策”（*recourse decision*）——向量 $y(\xi)$，旨在最小化因第一阶段决策 $x$ 和随机结果 $\xi$ 组合而产生的不利后果，或利用出现的有利机会。
带追索权的两阶段随机线性规划问题的数学表达式如下： $\min\limits_{x \in {\mathbb{R}}^{n_{1}}}\{ c^{T}x + {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack\}$ 满足第一阶段约束条件：$Ax = b,x \geq 0$。 这里 $Q(x,\xi)$ 是**追索函数**（*recourse function*），代表第二阶段问题的最优值： $Q(x,\xi) = \min\limits_{y \in {\mathbb{R}}^{n_{2}}}\{ q(\xi)^{T}y \mid T(\xi)x + Wy = h(\xi),y \geq 0\}$ 其中 $\xi$ 是一个随机向量，包含参数 $q(\xi),T(\xi)$ 和 $h(\xi)$；而 $c,A,b$ 和 $W$ 是确定性参数[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-birge2011-2)。
## 关键性质与定理
- **凸性**：该理论的一个基本结果是，对于两阶段随机线性规划问题，期望追索函数 $Q(x) = {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack$ 是一个凸函数。这一性质至关重要，因为它保证了整个第一阶段问题是一个凸规划问题，存在有效的求解方法，且全局最优解与局部最优解一致[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-shapiro2009-1)。
- **确定性等价形式**：如果随机向量 $\xi$ 只有有限数量的可能实现（情景）$\xi_{1},\ldots,\xi_{K}$，其概率分别为 $p_{1},\ldots,p_{K}$，那么该随机规划问题可以被重新表述为一个大型的确定性优化问题。在这种情况下，数学期望被替换为所有情景的加权和。然而，该问题的规模随情景数量线性增长，导致“维度灾难”，使得这种方法在情景数量巨大时计算上不可行[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-birge2011-2)。
## 与鲁棒优化的比较
随机规划是处理不确定性下优化的几种方法之一。它与鲁棒优化的关键区别在于对不确定性的建模方式和最优性准则[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-gorissen2015-4)。
| 标准 | 随机优化 | 鲁棒优化 |
|----------------|------------------------------------------|------------------------------------------------|
| 不确定性的表示 | 参数是具有已知概率分布的随机变量 | 参数属于一个给定的不确定性集合，不需要概率分布 |
| 最优性准则 | 优化目标函数的数学期望 | 优化最坏情况下的结果（极小化极大） |
| 解的性质 | “平均”最优的策略，在罕见情景下可能不可行 | 保证对所有实现都可行的解；可能较为保守 |
不确定性条件下优化方法的比较
## 示例
- **报童问题**（英语：*newsvendor problem*）：一个经典的库存管理问题，销售者需要在不确切知道未来需求的情况下，决定采购多少数量的商品。决策旨在平衡库存过剩的损失风险与缺货的错失利润风险。
- **农民问题**：农民需要决定在总面积一定的土地上为不同作物分配多少英亩，但并不知道未来会影响产量的天气情况。当天气情况确定后，农民可以采取修正措施（例如，出售多余的收成或在市场上购买短缺的收成）[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_note-farmer-problem-uiowa-5)。
## 参见
- 数学规划
- 运筹学
- 鲁棒优化
- 动态规划
- 控制理论
## 注释
1. ↑ [1.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-shapiro2009_1-0) [1.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-shapiro2009_1-1) [1.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-shapiro2009_1-2) [1.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-shapiro2009_1-3) Shapiro, A., Dentcheva, D., & Ruszczyński, A. (2009). *Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory*. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).
2. ↑ [2.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-birge2011_2-0) [2.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-birge2011_2-1) [2.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-birge2011_2-2) [2.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-birge2011_2-3) Birge, J. R., & Louveaux, F. (2011). *Introduction to Stochastic Programming* (2nd ed.). Springer Science+Business Media.
3. [↑](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-ru-wiki-sp_3-0) “随机规划”。《维基百科》。[1]
4. [↑](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-gorissen2015_4-0) Gorissen, B. L., Yanıkoğlu, İ., & den Hertog, D. (2015). A practical guide to robust optimization. *Omega, 53*, 124-137.
5. [↑](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%A7%84%E5%88%92#cite_ref-farmer-problem-uiowa_5-0) Bricker, D. L. *SLPwR: Farmer Problem*. University of Iowa. [2]