--- title: "Stochastic programming — การโปรแกรมสุ่ม" source: "https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Stochastic_programming_—_การโปรแกรมสุ่ม" language: "th" categories: - "Category:Operations research" - "Category:Probability theory" - "Category:Thai" revision_id: 6920 wiki_created_at: 2026-09-07T00:13:17Z wiki_modified_at: 2026-09-07T00:13:17Z downloaded_at: 2026-09-07T23:16:25Z --- # Stochastic programming — การโปรแกรมสุ่ม **การโปรแกรมสุ่ม** (อังกฤษ: *stochastic programming*) — สาขาหนึ่งของการโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแบบจำลองและวิธีการสำหรับแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดภายใต้สภาวะความไม่แน่นอน เมื่อพารามิเตอร์บางส่วนของแบบจำลองไม่ทราบค่าที่แน่นอน แต่ถูกแทนด้วยตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นที่ทราบหรือประมาณไว้[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-shapiro2009-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-birge2011-2) ต่างจากปัญหาเชิงกำหนดที่ข้อมูลทั้งหมดถือว่าเป็นค่าคงที่ที่กำหนดไว้ การโปรแกรมสุ่มมีเป้าหมายในการหาคำตอบ (หรือนโยบายการตัดสินใจ) ที่เหมาะสมที่สุดในเชิงสถิติบางอย่าง โดยส่วนใหญ่หมายถึงการหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-shapiro2009-1) แนวคิดหลักคือการหานโยบายการตัดสินใจที่ดีที่สุด «โดยเฉลี่ย» สำหรับการเกิดขึ้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์สุ่ม ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับปัญหาที่มีการตัดสินใจซ้ำ ๆ ในสภาวะที่คล้ายคลึงกัน (เช่น ในการจัดการสินค้าคงคลังหรือระบบพลังงาน)[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-ru-wiki-sp-3) ## การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ ในรูปแบบทั่วไป ปัญหาการโปรแกรมสุ่มสามารถกำหนดได้ดังนี้: $\min\limits_{x \in X}{\mathbb{E}}\lbrack f(x,\xi)\rbrack$ โดยที่: - $x$ — เวกเตอร์ของตัวแปรควบคุม (การตัดสินใจ) ที่ต้องกำหนด - $X$ — เซตของคำตอบที่ยอมรับได้สำหรับ $x$ ซึ่งกำหนดโดยข้อจำกัดเชิงกำหนด - $\xi$ — เวกเตอร์สุ่มที่แทนพารามิเตอร์ที่ไม่แน่นอนของปัญหา (เช่น ความต้องการ ราคา สภาพอากาศ) - $f(x,\xi)$ — ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่มีค่าขึ้นอยู่กับทั้งการตัดสินใจ $x$ และการเกิดขึ้นของเวกเตอร์สุ่ม $\xi$ - ${\mathbb{E}}\lbrack \cdot \rbrack$ — ตัวดำเนินการค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่คำนวณตามการกระจายความน่าจะเป็นของเวกเตอร์ $\xi$ หลักการสำคัญที่สุดที่เป็นรากฐานของแบบจำลองสุ่มหลายขั้นตอนคือ **หลักการไม่คาดการณ์ล่วงหน้า** (อังกฤษ: *non-anticipativity principle*) หลักการนี้ระบุว่าการตัดสินใจที่ทำในขั้นตอนใด ๆ สามารถขึ้นอยู่กับเฉพาะข้อมูลที่มีอยู่ ณ เวลานั้น และไม่สามารถ «มองอนาคต» ได้[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-birge2011-2) ### ปัญหาสองขั้นตอนพร้อมสิทธิ์ชดเชย แบบจำลองที่พบบ่อยที่สุดคือ **ปัญหาสองขั้นตอนพร้อมสิทธิ์ชดเชย** (อังกฤษ: *two-stage stochastic program with recourse*)[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-shapiro2009-1) กระบวนการตัดสินใจแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน: 1. **ขั้นตอนที่หนึ่ง:** ตัดสินใจ «ที่นี่และตอนนี้» (*here-and-now*) — กำหนดเวกเตอร์ $x$ การตัดสินใจนี้ต้องทำก่อนที่จะทราบการเกิดขึ้นที่เจาะจงของเวกเตอร์สุ่ม $\xi$ 2. **ขั้นตอนที่สอง:** หลังจากเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นแล้ว จะมีการตัดสินใจปรับแก้หรือชดเชย (*recourse decision*) — เวกเตอร์ $y(\xi)$ ที่มุ่งลดผลกระทบด้านลบหรือใช้ประโยชน์จากโอกาสที่เกิดขึ้นจากการผสมผสานระหว่างการตัดสินใจขั้นตอนแรก $x$ และผลลัพธ์ $\xi$ ในเชิงคณิตศาสตร์ ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสุ่มสองขั้นตอนกำหนดดังนี้: $\min\limits_{x \in {\mathbb{R}}^{n_{1}}}\{ c^{T}x + {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack\}$ ภายใต้ข้อจำกัดขั้นตอนแรก: $Ax = b,x \geq 0$ ที่นี่ $Q(x,\xi)$ คือ **ฟังก์ชันชดเชย** (*recourse function*) ซึ่งแทนค่าเหมาะที่สุดของปัญหาขั้นตอนที่สอง: $Q(x,\xi) = \min\limits_{y \in {\mathbb{R}}^{n_{2}}}\{ q(\xi)^{T}y \mid T(\xi)x + Wy = h(\xi),y \geq 0\}$ โดยที่ $\xi$ คือเวกเตอร์สุ่มที่ประกอบด้วยพารามิเตอร์ $q(\xi),T(\xi)$ และ $h(\xi)$ ส่วน $c,A,b$ และ $W$ คือพารามิเตอร์เชิงกำหนด[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-birge2011-2) ## คุณสมบัติและทฤษฎีบทสำคัญ - **ความนูน**: ผลลัพธ์พื้นฐานที่สำคัญของทฤษฎีคือสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสุ่มสองขั้นตอน ฟังก์ชันชดเชยที่คาดหวัง $Q(x) = {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack$ เป็นฟังก์ชันนูน คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากรับประกันว่าปัญหาขั้นตอนแรกโดยรวมเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงนูน ซึ่งมีวิธีการแก้ที่มีประสิทธิภาพและค่าเหมาะที่สุดส่วนกลางตรงกับค่าเหมาะที่สุดส่วนท้องถิ่น[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-shapiro2009-1) - **สมมูลเชิงกำหนด**: หากเวกเตอร์สุ่ม $\xi$ มีการเกิดขึ้นที่เป็นไปได้ (สถานการณ์) จำนวนจำกัด $\xi_{1},\ldots,\xi_{K}$ พร้อมความน่าจะเป็น $p_{1},\ldots,p_{K}$ ปัญหาการโปรแกรมสุ่มสามารถกำหนดใหม่เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดเชิงกำหนดขนาดใหญ่เพียงปัญหาเดียว ในกรณีนี้ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะถูกแทนที่ด้วยผลรวมถ่วงน้ำหนักสำหรับทุกสถานการณ์ อย่างไรก็ตาม ขนาดของปัญหานี้เพิ่มขึ้นเชิงเส้นตามจำนวนสถานการณ์ ซึ่งทำให้เกิด «คำสาปแห่งมิติ» และทำให้แนวทางดังกล่าวไม่สามารถคำนวณได้จริงเมื่อมีสถานการณ์จำนวนมาก[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-birge2011-2) ## การเปรียบเทียบกับการหาค่าเหมาะที่สุดแบบโรบัสต์ การโปรแกรมสุ่มเป็นหนึ่งในหลายแนวทางสำหรับการหาค่าเหมาะที่สุดภายใต้สภาวะความไม่แน่นอน ความแตกต่างสำคัญจากการหาค่าเหมาะที่สุดแบบโรบัสต์อยู่ที่วิธีการสร้างแบบจำลองความไม่แน่นอนและเกณฑ์ความเหมาะที่สุด[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-gorissen2015-4) | เกณฑ์ | การหาค่าเหมาะที่สุดเชิงสุ่ม | การหาค่าเหมาะที่สุดแบบโรบัสต์ | |-------------------|-----------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------| | การแทนความไม่แน่นอน | พารามิเตอร์เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นที่ทราบ | พารามิเตอร์อยู่ในเซตความไม่แน่นอนที่กำหนด โดยไม่ต้องการการกระจาย | | เกณฑ์ความเหมาะที่สุด | การหาค่าเหมาะที่สุดของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ | การหาค่าเหมาะที่สุดในสถานการณ์เลวร้ายที่สุด (minimax) | | ลักษณะของคำตอบ | นโยบายที่เหมาะที่สุด «โดยเฉลี่ย» อาจไม่ยอมรับได้สำหรับสถานการณ์ที่หายาก | คำตอบที่รับประกันว่ายอมรับได้สำหรับการเกิดขึ้นทั้งหมด อาจมีความอนุรักษนิยม | การเปรียบเทียบแนวทางการหาค่าเหมาะที่สุดภายใต้สภาวะความไม่แน่นอน ## ตัวอย่าง - **ปัญหาผู้ขายหนังสือพิมพ์** (อังกฤษ: *newsvendor problem*): ปัญหาคลาสสิกของการจัดการสินค้าคงคลัง ที่ผู้ขายต้องตัดสินใจว่าจะสั่งซื้อสินค้าจำนวนเท่าใดโดยไม่ทราบความต้องการในอนาคตที่แน่นอน คำตอบจะสร้างสมดุลระหว่างความเสี่ยงของการขาดทุนจากสินค้าส่วนเกินและความเสี่ยงของกำไรที่สูญเสียจากการขาดแคลน - **ปัญหาเกษตรกร**: เกษตรกรตัดสินใจว่าจะจัดสรรพื้นที่กี่เอเคอร์ให้กับพืชผลต่าง ๆ บนพื้นที่รวม โดยไม่ทราบสภาพอากาศในอนาคตที่ส่งผลต่อผลผลิต หลังจากทราบสภาพอากาศแล้ว เกษตรกรสามารถดำเนินการปรับแก้ได้ (เช่น ขายสินค้าส่วนเกินหรือซื้อผลผลิตที่ขาดแคลนเพิ่มเติมในตลาด)[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-farmer-problem-uiowa-5) ## ดูเพิ่มเติม - การโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์ - การวิจัยการดำเนินงาน - การหาค่าเหมาะที่สุดแบบโรบัสต์ - การโปรแกรมเชิงพลวัต - ทฤษฎีการควบคุม ## หมายเหตุ [\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-shapiro2009-1) [\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-birge2011-2) [\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-ru-wiki-sp-3) [\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-gorissen2015-4) [\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_note-farmer-problem-uiowa-5) \ 1. ↑ [1.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-shapiro2009_1-0) [1.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-shapiro2009_1-1) [1.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-shapiro2009_1-2) [1.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-shapiro2009_1-3) [1.4](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-shapiro2009_1-4) Shapiro, A., Dentcheva, D., & Ruszczyński, A. (2009). *Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory*. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 2. ↑ [2.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-birge2011_2-0) [2.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-birge2011_2-1) [2.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-birge2011_2-2) [2.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-birge2011_2-3) [2.4](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-birge2011_2-4) Birge, J. R., & Louveaux, F. (2011). *Introduction to Stochastic Programming* (2nd ed.). Springer Science+Business Media. 3. ↑ [3.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-ru-wiki-sp_3-0) [3.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-ru-wiki-sp_3-1) "Стохастическое программирование". *Википедия*. [1] 4. ↑ [4.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-gorissen2015_4-0) [4.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-gorissen2015_4-1) Gorissen, B. L., Yanıkoğlu, İ., & den Hertog, D. (2015). A practical guide to robust optimization. *Omega, 53*, 124-137. 5. ↑ [5.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-farmer-problem-uiowa_5-0) [5.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1#cite_ref-farmer-problem-uiowa_5-1) Bricker, D. L. *SLPwR: Farmer Problem*. University of Iowa. [2]