--- title: "Stochastic programming — اسٹاکیسٹک پروگرامنگ" source: "https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Stochastic_programming_—_اسٹاکیسٹک_پروگرامنگ" language: "ur" categories: - "Category:Operations research" - "Category:Probability theory" - "Category:Urdu" revision_id: 6915 wiki_created_at: 2026-09-07T00:13:13Z wiki_modified_at: 2026-09-07T00:13:13Z downloaded_at: 2026-09-07T23:16:23Z --- # Stochastic programming — اسٹاکیسٹک پروگرامنگ **اسٹاکیسٹک پروگرامنگ** (انگریزی: *stochastic programming*) — ریاضیاتی پروگرامنگ کی وہ شاخ ہے جو غیر یقینی حالات میں اصلاحی مسائل کے حل کے لیے ماڈل اور طریقے تیار کرتی ہے، جہاں ماڈل کے بعض پیرامیٹر بالکل معلوم نہیں ہوتے بلکہ انہیں معلوم یا تخمینہ شدہ احتمالی تقسیم کے حامل بے ترتیب متغیرات کے طور پر پیش کیا جاتا ہے[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-shapiro2009-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-birge2011-2)۔ تعینیاتی مسائل کے برخلاف، جہاں تمام ڈیٹا کو مقررہ ثابت اقدار سمجھا جاتا ہے، اسٹاکیسٹک پروگرامنگ کا مقصد ایسا حل (یا فیصلہ سازی کی پالیسی) تلاش کرنا ہے جو کسی اعداد و شماری لحاظ سے بہترین ہو۔ اکثر اس کا مطلب ہدف فنکشن کی ریاضیاتی توقع کو کم یا زیادہ سے زیادہ کرنا ہوتا ہے[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-shapiro2009-1)۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ ایسی فیصلہ سازی کی پالیسی تلاش کی جائے جو بے ترتیب پیرامیٹرز کی تمام ممکنہ حقیقی شکلوں کے اوپر *اوسطاً* بہترین ہو، جو خاص طور پر ان مسائل کے لیے اہم ہے جہاں فیصلے ملتے جلتے حالات میں بار بار کیے جاتے ہیں (مثلاً ذخیرہ انداری کے انتظام یا توانائی کے نظام میں)[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-ru-wiki-sp-3)۔ ## مسئلے کی ریاضیاتی تشکیل عمومی شکل میں اسٹاکیسٹک پروگرامنگ کا مسئلہ اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: $\min\limits_{x \in X}{\mathbb{E}}\lbrack f(x,\xi)\rbrack$ جہاں: - $x$ — کنٹرول کرنے والے متغیرات (فیصلوں) کا ویکٹر جسے متعین کرنا ضروری ہے۔ - $X$ — $x$ کے لیے قابل قبول حلوں کا مجموعہ جو تعینیاتی قیود سے متعین ہوتا ہے۔ - $\xi$ — بے ترتیب ویکٹر جو مسئلے کے غیر یقینی پیرامیٹروں کی نمائندگی کرتا ہے (مثلاً طلب، قیمتیں، موسمی حالات)۔ - $f(x,\xi)$ — ہدف فنکشن جس کی قدر لیے گئے فیصلے $x$ اور بے ترتیب ویکٹر $\xi$ کی حقیقی شکل دونوں پر منحصر ہے۔ - ${\mathbb{E}}\lbrack \cdot \rbrack$ — ریاضیاتی توقع کا آپریٹر جو ویکٹر $\xi$ کی احتمالی تقسیم کے مطابق حساب لگایا جاتا ہے۔ کثیر مرحلہ اسٹاکیسٹک ماڈلز کی بنیاد میں جو اہم ترین اصول ہے وہ **عدم پیش بینی کا اصول** (انگریزی: *non-anticipativity principle*) ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی مرحلے میں کیے جانے والے فیصلے صرف اس وقت تک دستیاب معلومات پر منحصر ہو سکتے ہیں اور *مستقبل میں جھانک* نہیں سکتے[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-birge2011-2)۔ ### دو مرحلہ معاوضہ کا مسئلہ سب سے زیادہ رائج ماڈل **دو مرحلہ معاوضہ کا مسئلہ** (انگریزی: *two-stage stochastic program with recourse*) ہے[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-shapiro2009-1)۔ فیصلہ سازی کا عمل دو مراحل میں تقسیم ہوتا ہے: 1. **پہلا مرحلہ:** *یہاں اور ابھی* (*here-and-now*) کا فیصلہ کیا جاتا ہے — ویکٹر $x$ متعین کیا جاتا ہے۔ یہ فیصلہ بے ترتیب ویکٹر $\xi$ کی مخصوص حقیقی شکل معلوم ہونے سے پہلے کرنا ضروری ہے۔ 2. **دوسرا مرحلہ:** جب بے ترتیب واقعہ رونما ہو جائے تو ایک اصلاحی یا معاوضہ کا فیصلہ (*recourse decision*) — ویکٹر $y(\xi)$ — کیا جاتا ہے جو پہلے مرحلے کے فیصلے $x$ اور نتیجے $\xi$ کے امتزاج سے پیدا ہونے والے منفی اثرات کو کم سے کم کرنے یا سازگار مواقع سے فائدہ اٹھانے کی جانب رہنمائی کرتا ہے۔ ریاضیاتی لحاظ سے دو مرحلہ اسٹاکیسٹک لکیری پروگرامنگ کا مسئلہ اس طرح تشکیل دیا جاتا ہے: $\min\limits_{x \in {\mathbb{R}}^{n_{1}}}\{ c^{T}x + {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack\}$ پہلے مرحلے کی قیود کے ساتھ: $Ax = b,x \geq 0$۔ یہاں $Q(x,\xi)$ — **معاوضہ فنکشن** (*recourse function*) ہے جو دوسرے مرحلے کے مسئلے کی بہترین قدر کو ظاہر کرتا ہے: $Q(x,\xi) = \min\limits_{y \in {\mathbb{R}}^{n_{2}}}\{ q(\xi)^{T}y \mid T(\xi)x + Wy = h(\xi),y \geq 0\}$ جہاں $\xi$ — بے ترتیب ویکٹر ہے جس میں پیرامیٹر $q(\xi),T(\xi)$ اور $h(\xi)$ شامل ہیں؛ اور $c,A,b$ اور $W$ — تعینیاتی پیرامیٹر ہیں[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-birge2011-2)۔ ## اہم خصوصیات اور نظریات - **محدب پن**: نظریے کے بنیادی نتائج میں سے ایک یہ ہے کہ دو مرحلہ اسٹاکیسٹک لکیری پروگرامنگ کے مسئلے کے لیے متوقع معاوضہ فنکشن $Q(x) = {\mathbb{E}}_{\xi}\lbrack Q(x,\xi)\rbrack$ ایک محدب فنکشن ہے۔ یہ خصوصیت انتہائی اہم ہے کیونکہ یہ یقین دلاتی ہے کہ پہلے مرحلے کا مجموعی مسئلہ محدب پروگرامنگ کا مسئلہ ہے جس کے لیے موثر حل کے طریقے موجود ہیں اور عالمی بہترین مقامی بہترین کے برابر ہے[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-shapiro2009-1)۔ - **تعینیاتی مساوی**: اگر بے ترتیب ویکٹر $\xi$ میں محدود تعداد میں ممکنہ حقیقی شکلیں (سیناریو) $\xi_{1},\ldots,\xi_{K}$ ہوں جن کے احتمالات $p_{1},\ldots,p_{K}$ ہوں، تو اسٹاکیسٹک پروگرامنگ کے مسئلے کو ایک بڑے تعینیاتی اصلاحی مسئلے کی شکل میں دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں ریاضیاتی توقع کو تمام سیناریوز پر وزنی مجموع سے تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ تاہم اس مسئلے کا حجم سیناریوز کی تعداد کے ساتھ لکیری طور پر بڑھتا ہے جو *ابعاد کی لعنت* کو جنم دیتا ہے اور سیناریوز کی زیادہ تعداد کے لیے اس طریقے کو حسابی لحاظ سے ناقابل حل بنا دیتا ہے[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-birge2011-2)۔ ## روبست اصلاح سے موازنہ اسٹاکیسٹک پروگرامنگ غیر یقینی حالات میں اصلاح کے کئی طریقوں میں سے ایک ہے۔ روبست اصلاح سے اس کا بنیادی فرق غیر یقینی کی ماڈلنگ کے طریقے اور بہترینیت کے معیار میں ہے[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-gorissen2015-4)۔ | معیار | اسٹاکیسٹک اصلاح | روبست اصلاح | |-----------------------|----------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------| | غیر یقینی کی نمائندگی | پیرامیٹر معلوم احتمالی تقسیم کے حامل بے ترتیب متغیرات ہیں | پیرامیٹر ایک مقررہ غیر یقینی مجموعے سے تعلق رکھتے ہیں، تقسیم کی ضرورت نہیں | | بہترینیت کا معیار | ہدف فنکشن کی ریاضیاتی توقع کی اصلاح | بدترین سیناریو میں اصلاح (minimax) | | حل کی نوعیت | *اوسطاً* بہترین پالیسی جو نادر سیناریوز کے لیے ناقابل قبول ہو سکتی ہے | تمام حقیقی شکلوں کے لیے یقینی طور پر قابل قبول حل؛ قدامت پسند ہو سکتا ہے | غیر یقینی حالات میں اصلاح کے طریقوں کا موازنہ ## مثالیں - **اخبار فروش کا مسئلہ** (انگریزی: *newsvendor problem*): ذخیرہ انداری کے انتظام کا ایک کلاسک مسئلہ جہاں بیچنے والے کو فیصلہ کرنا ہوتا ہے کہ کتنا مال خریدا جائے جبکہ مستقبل کی درست طلب معلوم نہیں۔ حل فاضل مال کے نقصان کے خطرے اور کمی سے ضائع ہونے والے منافع کے خطرے کے درمیان توازن قائم کرتا ہے۔ - **کسان کا مسئلہ**: ایک کسان فیصلہ کرتا ہے کہ کل رقبے پر مختلف فصلوں کے لیے کتنے ایکڑ مختص کیے جائیں، جبکہ مستقبل کا موسم معلوم نہیں جو پیداوار کو متاثر کرتا ہے۔ جب موسم معلوم ہو جائے تو کسان اصلاحی اقدامات کر سکتا ہے (مثلاً فاضل پیداوار بیچنا یا بازار سے کم پڑنے والی فصل خریدنا)[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-farmer-problem-uiowa-5)۔ ## مزید دیکھیں - ریاضیاتی پروگرامنگ - آپریشنز ریسرچ - روبست اصلاح - ڈائنامک پروگرامنگ - کنٹرول تھیوری ## حواشی [\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-shapiro2009-1) [\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-birge2011-2) [\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-ru-wiki-sp-3) [\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-gorissen2015-4) [\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_note-farmer-problem-uiowa-5) \ 1. ↑ [1.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-shapiro2009_1-0) [1.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-shapiro2009_1-1) [1.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-shapiro2009_1-2) [1.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-shapiro2009_1-3) [1.4](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-shapiro2009_1-4) Shapiro, A., Dentcheva, D., & Ruszczyński, A. (2009). *Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory*. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 2. ↑ [2.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-birge2011_2-0) [2.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-birge2011_2-1) [2.2](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-birge2011_2-2) [2.3](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-birge2011_2-3) [2.4](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-birge2011_2-4) Birge, J. R., & Louveaux, F. (2011). *Introduction to Stochastic Programming* (2nd ed.). Springer Science+Business Media. 3. ↑ [3.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-ru-wiki-sp_3-0) [3.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-ru-wiki-sp_3-1) "Стохастическое программирование". *Википедия*. [1] 4. ↑ [4.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-gorissen2015_4-0) [4.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-gorissen2015_4-1) Gorissen, B. L., Yanıkoğlu, İ., & den Hertog, D. (2015). A practical guide to robust optimization. *Omega, 53*, 124-137. 5. ↑ [5.0](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-farmer-problem-uiowa_5-0) [5.1](https://systems-analysis.info/int/Stochastic_programming_%E2%80%94_%D8%A7%D8%B3%D9%B9%D8%A7%DA%A9%DB%8C%D8%B3%D9%B9%DA%A9_%D9%BE%D8%B1%D9%88%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%85%D9%86%DA%AF#cite_ref-farmer-problem-uiowa_5-1) Bricker, D. L. *SLPwR: Farmer Problem*. University of Iowa. [2]