--- title: "Savage-kritérium" source: "https://systems-analysis.info/int/Savage-krit%C3%A9rium" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Savage-kritérium" language: "hu" categories: - "Category:Decision theory" - "Category:Decision-making" - "Category:Hungarian" revision_id: 6579 wiki_created_at: 2026-09-07T00:07:03Z wiki_modified_at: 2026-09-07T00:07:03Z downloaded_at: 2026-09-07T23:14:42Z --- # Savage-kritérium **A Savage-kritérium** (más néven **minimális sajnálat kritériuma**) — a bizonytalanság melletti döntéshozatal egyik módszere. Olyan helyzetekben alkalmazzák, amikor a különböző kimenetelekhez tartozó valószínűségek nem ismertek, és a cél a nem optimális döntés meghozatalából eredő potenciális veszteségek minimalizálása. ## Általános jellemzés A bizonytalanság körülményei között az egyes stratégiák megválasztásának következményei nem határozhatók meg pontosan. A lehetséges alternatívák értékelésére számos kritérium áll rendelkezésre, például a Wald-, a Hurwicz-, a Laplace- és a Savage-kritérium. A Savage-kritérium nem a maximális nyereség elérésére törekszik, hanem a **maximális sajnálat minimalizálására** (a legjobb lehetséges eredményhez képest elszenvedett veszteségekre). **A sajnálat** olyan érték, amely azt a kiesett hasznot tükrözi, amelyet azért mulasztottak el, mert egy adott kimenetel esetén nem az optimális stratégiát választották. ## A Savage-kritérium alkalmazásának algoritmusa - A kifizetési mátrix összeállítása: Egy olyan táblázatot kell felépíteni, amelynek sorai a lehetséges stratégiáknak, oszlopai pedig az esemény lehetséges kimeneteleinek felelnek meg. A metszéspontokba egy adott stratégia és kimenetel esetén várható eredmény kerül. - A sajnálati mátrix (kockázati mátrix) felépítése: Minden kimenetelnél (oszlopnál) meghatározzák a nyeremény maximális értékét. Ezután minden cellára kiszámítják a sajnálat értékét: - A maximális sajnálat meghatározása minden egyes stratégiára: A sajnálati mátrix minden sorában kiválasztják a maximális értéket (az adott stratégiára vonatkozó legrosszabb eset). - Az optimális stratégia kiválasztása: Azt a stratégiát választják ki, amelynél a maximális sajnálat a legkisebb. Eképpen a Savage-kritérium a helytelen döntésből eredő lehetséges veszteség minimalizálásának elvét valósítja meg. ## Matematikai megfogalmazás Legyenek adottak: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — az elérhető stratégiák (alternatívák) halmaza. - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — a természet lehetséges állapotainak halmaza. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — a nyeremény (hasznosság) függvénye a $s_{i}$ stratégia kiválasztása és a $\theta_{j}$ állapot bekövetkezése esetén. Ezt gyakran a $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$ kifizetési mátrix reprezentálja, ahol $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. A Savage-kritérium a **sajnálat** (regret) vagy **kiesett haszon** fogalmán alapul. A $r(s_{i},\theta_{j})$ sajnálat a $s_{i}$ stratégiára a $\theta_{j}$ természeti állapot esetén úgy határozható meg, mint a különbség az adott természeti állapotnál $\theta_{j}$ elérhető maximálisan lehetséges nyeremény (amennyiben az adott állapotra nézve legjobb stratégiát választották volna) és a $s_{i}$ stratégiából ténylegesen eredő nyeremény között. A Savage-kritérium alkalmazásának algoritmusa: 1. **A sajnálati mátrix (kockázati mátrix) kiszámítása:** **a) A maximális nyeremény megkeresése minden természeti állapotra (a kifizetési mátrix minden oszlopára):** $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$ Ez a legjobb lehetséges eredmény, ha a $\theta_{j}$ állapot következik be. **b) A sajnálati mátrix elemeinek kiszámítása** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$:\*\* $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$ A $r_{ij}$ elem azt mutatja meg, hogy a $s_{i}$ stratégiából eredő nyeremény mennyivel kisebb a $\theta_{j}$ állapot esetén maximálisan lehetségesnél. Az összes elem $r_{ij} \geq 0$. 1. **A maximális sajnálat megkeresése minden egyes stratégiára:** Minden $s_{i}$ stratégiára (a $R$ sajnálati mátrix minden sorára) meghatározzák a sajnálat szempontjából legrosszabb lehetséges kimenetelt: $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$ 1. **A minimális maximális sajnálattal rendelkező stratégia kiválasztása (a sajnálat minimax-elve):** Azt a $s_{\text{Savage}}^{\ast}$ stratégiát választják ki, amely minimalizálja a megtalált maximális sajnálatot: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$ Vagy, behelyettesítve a $r_{ij}$ kifejezést: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$ A Savage-kritérium alkalmazásával elérhető minimális maximális sajnálat értéke: $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$ Eképpen a Savage-kritérium olyan stratégia kiválasztására irányul, amely a természet minden egyes állapotára vonatkozó legjobb lehetséges cselekvéshez képest a legkisebb veszteséget garantálja. A matematikai megfogalmazás legfontosabb pontjai: - A $r_{ij}$ sajnálat meghatározása: Ez a központi fogalom. Fontos megmutatni, hogy ez a j oszlopban szereplő legjobb kimenetel és az a\_{ij} aktuális kimenetel különbségeként számítódik. - A $R$ sajnálati mátrix: Explicit módon jelzi, hogyan épül fel. - A $r_{i}^{\max}$ megkeresése: Bemutatja a maximum keresését a sajnálati mátrix minden sorában. - A minimax-elv: Egyértelműen megfogalmazza a stratégia kiválasztását a sajnálatok $\arg\min$-ja és $\max$-ja alapján. - Alkalmazott jelölések: Szabványos a játékelméletben és a döntéselméletben (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min). ## Előnyök és hátrányok **Előnyök:** - A kockázatok minimalizálására összpontosít. - Különösen hatékony magas fokú bizonytalanság esetén. **Hátrányok:** - Figyelmen kívül hagyja a várható nyereséget, kizárólag a lehetséges veszteségekre összpontosítva. - Túlságosan konzervatív döntésekhez vezethet. ## Döntési kritériumok - Hurwicz-kritérium - Laplace-kritérium - Wald-kritérium