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title: "Ottimizzazione multicriterio"
source: "https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Ottimizzazione_multicriterio"
language: "it"
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  - "Category:Decision theory"
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  - "Category:Operations research"
revision_id: 5275
wiki_created_at: 2026-09-06T23:46:58Z
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# Ottimizzazione multicriterio

**Ottimizzazione multicriterio** (anche **programmazione multicriterio**, ingl. *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — è una branca dell'ottimizzazione matematica che studia i problemi di ottimizzazione simultanea rispetto a due o più funzioni obiettivo (criteri), che, di norma, sono in conflitto tra loro<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Formalmente il problema è formulato come minimizzazione di una funzione obiettivo vettoriale sull'insieme delle soluzioni ammissibili.

## Definizione e terminologia

Il problema di ottimizzazione multicriterio nella forma generale è scritto come segue: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ dove $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — è un insieme non vuoto di soluzioni ammissibili, e $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — sono le funzioni obiettivo ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. Il vettore $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ è detto vettore obiettivo.

A differenza dell'ottimizzazione scalare, nella formulazione multicriterio di norma non esiste un'unica soluzione che migliori simultaneamente i valori di tutti i criteri. Pertanto, il classico concetto di ottimo viene generalizzato mediante il concetto di ottimalità di Pareto<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Soluzione di Pareto** (soluzione Pareto-ottimale o efficiente): una soluzione ammissibile $x^{\ast} \in S$, per la quale non esiste un'altra soluzione $x \in S$ tale che $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ per tutti $i = 1,\ldots,k$, e inoltre $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ per almeno un indice $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. In altre parole, una soluzione è Pareto-ottimale se nessun valore di criterio può essere migliorato senza peggiorare almeno un altro criterio.
- **Fronte di Pareto** (o insieme di Pareto): l'insieme di tutti i vettori obiettivo corrispondenti alle soluzioni Pareto-ottimali.
- **Soluzione debolmente Pareto-ottimale**: una soluzione $x^{\ast} \in S$, per la quale non esiste un'altra soluzione $x \in S$ tale che $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ per tutti $i$.

## Proprietà chiave e teoremi

- **Teorema della somma pesata**: Nei problemi convessi (dove tutte le funzioni $f_{i}(x)$ e l'insieme $S$ sono convessi) qualsiasi soluzione Pareto-ottimale $x^{\ast}$ è soluzione del problema scalare di minimizzazione della somma pesata dei criteri $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ per un certo insieme di pesi non negativi $w_{i} \geq 0$. Tuttavia, nei problemi non convessi questo metodo potrebbe non trovare alcune parti del fronte di Pareto<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

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- **Condizioni di ottimalità di Karush-Kuhn-Tucker (KKT)**: Le condizioni necessarie di ottimalità per problemi regolari sono generalizzate al caso multicriterio. In un punto di ottimo di Pareto esiste un insieme non nullo di moltiplicatori (pesi) non negativi per i quali i gradienti delle funzioni obiettivo e dei vincoli attivi sono linearmente dipendenti<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

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- **Proprietà dell'insieme delle soluzioni**: Il fronte di Pareto possiede una serie di importanti caratteristiche qualitative. Il suo confine è delimitato dal **punto ideale** (composto dai minimi elemento per elemento di tutti i criteri) e dal **punto nadir** (composto dai massimi elemento per elemento sul fronte)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Esempi

- **Problema lineare**: Minimizzare $f_{1}(x) = - x_{1}$ e $f_{2}(x) = - x_{2}$ con il vincolo $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Qui il miglioramento di un criterio (ad esempio, l'aumento di $x_{1}$) porta inevitabilmente al peggioramento dell'altro (riduzione di $x_{2}$). L'insieme delle soluzioni Pareto-ottimali è il segmento di retta $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Problema non convesso**: Minimizzare $f_{1}(x) = x^{2}$ e $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ sul segmento $\lbrack 0,2\rbrack$. Il fronte di Pareto è non convesso. Il metodo delle somme pesate con pesi positivi non riesce a trovare soluzioni all'interno di questo segmento (ad esempio, nel punto $x = 1$), poiché la combinazione lineare dei criteri raggiunge il minimo solo nei punti estremi $x = 0$ o $x = 2$<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Concetti correlati e applicazioni

L'ottimizzazione multicriterio è strettamente legata al processo decisionale multicriterio (MCDM), che studia la scelta della migliore alternativa tenendo conto delle preferenze del decisore. I principali metodi di trasformazione del problema multicriterio in uno scalare (scalarizzazione) includono:

- **Metodo della somma pesata**.
- **Metodo dei vincoli $\varepsilon$**: Si ottimizza un criterio, mentre gli altri vengono trasformati in vincoli della forma $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Questo metodo è in grado di trovare soluzioni nelle parti non convesse del fronte<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

L'ottimizzazione multicriterio trova ampia applicazione nella progettazione ingegneristica, nell'economia (ad esempio, ottimizzazione del portafoglio), nella gestione e nell'ecologia.

## Vedi anche

- Ottimalità di Pareto
- Ottimizzazione vettoriale
- Teoria delle decisioni
- Sistemi di supporto alle decisioni
- Ricerca operativa

## Note

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Ottimizzazione_multicriterio#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>