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title: "Otimização multicritério"
source: "https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Otimização_multicritério"
language: "pt"
categories:
- "Category:Decision theory"
- "Category:Operations research"
- "Category:Optimization"
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revision_id: 5271
wiki_created_at: 2026-09-06T23:46:55Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:46:55Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:07:31Z
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# Otimização multicritério
**Otimização multicritério** (também chamada de **programação multicritério**, em inglês *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) é a área da otimização matemática que estuda problemas de otimização simultânea de duas ou mais funções objetivo (critérios), que geralmente entram em conflito entre si[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-trifonov-matlab-2). Formalmente, o problema é expresso como a minimização de uma função objetivo vetorial sobre um conjunto de soluções viáveis.
## Definição e terminologia
O problema de otimização multicritério em sua forma geral é escrito da seguinte maneira: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ onde $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ é um conjunto não vazio de soluções viáveis, e $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ são as funções objetivo ($k \geq 2$)[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-encyclopedia-math-moo-3). O vetor $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ é chamado de vetor objetivo.
Diferentemente da otimização escalar, na formulação multicritério, geralmente não existe uma única solução que melhore os valores de todos os critérios simultaneamente. Portanto, o conceito clássico de ótimo é generalizado usando o conceito de otimalidade de Pareto[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-ehrgott-pareto-4).
- **Solução de Pareto** (solução Pareto-ótima ou eficiente): uma solução viável $x^{\ast} \in S$ para a qual não existe outra solução $x \in S$ tal que $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ para todo $i = 1,\ldots,k$, e $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ para pelo menos um índice $j$[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-ehrgott-pareto-4). Em outras palavras, uma solução é Pareto-ótima se nenhum valor de critério pode ser melhorado sem piorar pelo menos um outro critério.
- **Fronte de Pareto** (ou conjunto de Pareto): o conjunto de todos os vetores objetivo correspondentes às soluções Pareto-ótimas.
- **Solução fracamente Pareto-ótima**: uma solução $x^{\ast} \in S$ para a qual não existe outra solução $x \in S$ tal que $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ para todo $i$.
## Propriedades e teoremas chave
- **Teorema da soma ponderada**: Em problemas convexos (onde todas as funções $f_{i}(x)$ e o conjunto $S$ são convexos), qualquer solução Pareto-ótima $x^{\ast}$ é uma solução para o problema escalar de minimização da soma ponderada dos critérios $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ para algum conjunto de pesos não negativos $w_{i} \geq 0$. No entanto, em problemas não convexos, este método pode não encontrar algumas partes da fronteira de Pareto[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-marler-arora-2010-6).
- **Condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)**: As condições necessárias de otimalidade para problemas suaves são generalizadas para o caso multicritério. Em um ponto Pareto-ótimo, existe um conjunto não nulo de multiplicadores não negativos (pesos) para os quais os gradientes das funções objetivo e das restrições ativas são linearmente dependentes[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-miettinen-book-7).
- **Propriedades do conjunto de soluções**: A fronteira de Pareto possui várias características qualitativas importantes. Seus limites são definidos pelo **ponto ideal** (composto pelos mínimos de cada critério individualmente) e pelo **ponto nadir** (composto pelos máximos de cada critério na fronteira)[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-miettinen-book-7).
## Exemplos
- **Problema linear**: Minimizar $f_{1}(x) = - x_{1}$ e $f_{2}(x) = - x_{2}$ sujeito às restrições $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Neste caso, a melhoria de um critério (por exemplo, aumentar $x_{1}$) leva inevitavelmente à piora do outro (diminuir $x_{2}$). O conjunto de soluções Pareto-ótimas é o segmento de reta $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Problema não convexo**: Minimizar $f_{1}(x) = x^{2}$ e $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ no intervalo $\lbrack 0,2\rbrack$. A fronteira de Pareto é não convexa. O método da soma ponderada com pesos positivos não conseguirá encontrar soluções no interior desse intervalo (por exemplo, no ponto $x = 1$), pois a combinação linear dos critérios atingirá seu mínimo apenas nos pontos extremos $x = 0$ ou $x = 2$[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-ehrgott-book-8).
## Conceitos relacionados e aplicações
A otimização multicritério está intimamente relacionada à tomada de decisão multicritério (MCDM), que estuda a escolha da melhor alternativa levando em conta as preferências do tomador de decisão. Os principais métodos para transformar um problema multicritério em um escalar (escalarização) incluem:
- **Método da soma ponderada**.
- **Método das $\varepsilon$-restrições**: Um critério é otimizado, enquanto os outros são convertidos em restrições da forma $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Este método é capaz de encontrar soluções em partes não convexas da fronteira[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_note-mavrotas-2009-9).
A otimização multicritério tem ampla aplicação em projeto de engenharia, economia (por exemplo, otimização de portfólio), gestão e ecologia.
## Ver também
- Otimalidade de Pareto
- Otimização vetorial
- Teoria da decisão
- Sistemas de apoio à decisão
- Pesquisa operacional
## Notas
1. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Otimização multicritério". *Wikipédia*. [1]
2. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Trifonov, A. G. *Otimização Multicritério*. Matlab Exponenta. [2]
3. ↑ [3.0](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0) [3.1](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1) "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. [3]
4. ↑ [4.0](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0) [4.1](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1) Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. [4]
5. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Sobol, I. M., & Statnikov, R. B. (2006). *Seleção de parâmetros ótimos em problemas com múltiplos critérios* (2ª ed.). Drofa.
6. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. [5]
7. ↑ [7.0](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-miettinen-book_7-0) [7.1](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-miettinen-book_7-1) Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.
8. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.
9. [↑](https://systems-analysis.info/int/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_multicrit%C3%A9rio#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. [6]