---
title: "Optymalizacja wielokryterialna"
source: "https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Optymalizacja_wielokryterialna"
language: "pl"
categories:
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Polish"
revision_id: 5255
wiki_created_at: 2026-09-06T23:46:41Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:46:41Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:07:28Z
---

# Optymalizacja wielokryterialna

**Optymalizacja wielokryterialna** (także **programowanie wielokryterialne**, ang. *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — to dział optymalizacji matematycznej zajmujący się zagadnieniami jednoczesnej optymalizacji według dwóch lub więcej funkcji celu (kryteriów), które z reguły są ze sobą sprzeczne<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Formalnie zadanie zapisywane jest jako minimalizacja wektorowej funkcji celu na zbiorze rozwiązań dopuszczalnych.

## Definicja i terminologia

Zadanie optymalizacji wielokryterialnej w ogólnej postaci zapisuje się następująco: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ gdzie $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — niepusty zbiór rozwiązań dopuszczalnych, a $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — funkcje celu ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. Wektor $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ nazywany jest wektorem celu.

W odróżnieniu od optymalizacji skalarnej, w sformułowaniu wielokryterialnym zazwyczaj nie istnieje jedyne rozwiązanie poprawiające wartości wszystkich kryteriów jednocześnie. Dlatego klasyczne pojęcie optimum uogólnia się przy użyciu koncepcji optymalności w sensie Pareto<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Rozwiązanie Pareto** (rozwiązanie Pareto-optymalne lub efektywne): rozwiązanie dopuszczalne $x^{\ast} \in S$, dla którego nie istnieje inne rozwiązanie $x \in S$ takie, że $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ dla wszystkich $i = 1,\ldots,k$, przy czym $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ dla przynajmniej jednego indeksu $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. Innymi słowy, rozwiązanie jest Pareto-optymalne, jeśli żadnego kryterium nie można poprawić bez pogorszenia co najmniej jednego innego kryterium.
- **Front Pareto** (lub zbiór Pareto): zbiór wszystkich wektorów celu odpowiadających rozwiązaniom Pareto-optymalnym.
- **Słabo Pareto-optymalne rozwiązanie**: rozwiązanie $x^{\ast} \in S$, dla którego nie istnieje inne rozwiązanie $x \in S$ takie, że $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ dla wszystkich $i$.

## Kluczowe właściwości i twierdzenia

- **Twierdzenie o ważonej sumie**: W zadaniach wypukłych (gdzie wszystkie funkcje $f_{i}(x)$ oraz zbiór $S$ są wypukłe) każde rozwiązanie Pareto-optymalne $x^{\ast}$ jest rozwiązaniem skalarnego zadania minimalizacji ważonej sumy kryteriów $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ dla pewnego zestawu nieujemnych wag $w_{i} \geq 0$. Jednak w zadaniach niewypukłych metoda ta może nie znaleźć niektórych części frontu Pareto<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

<!-- -->

- **Warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera (KKT)**: Warunki konieczne optymalności dla gładkich zadań uogólnia się na przypadek wielokryterialny. W punkcie Pareto-optimum istnieje niezerowy zestaw nieujemnych mnożników (wag), dla których gradienty funkcji celu i aktywnych ograniczeń są liniowo zależne<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

<!-- -->

- **Właściwości zbioru rozwiązań**: Front Pareto posiada szereg ważnych cech jakościowych. Jego granica wyznaczona jest przez **punkt idealny** (złożony z elementarnych minimów wszystkich kryteriów) oraz **punkt nadir** (z elementarnych maksimów na froncie)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Przykłady

- **Zadanie liniowe**: Minimalizować $f_{1}(x) = - x_{1}$ i $f_{2}(x) = - x_{2}$ przy ograniczeniu $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Tutaj poprawa jednego kryterium (np. zwiększenie $x_{1}$) nieuchronnie prowadzi do pogorszenia drugiego (zmniejszenia $x_{2}$). Zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych stanowi odcinek prostej $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Zadanie niewypukłe**: Minimalizować $f_{1}(x) = x^{2}$ i $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ na odcinku $\lbrack 0,2\rbrack$. Front Pareto jest niewypukły. Metoda ważonych sum z dodatnimi wagami nie będzie w stanie znaleźć rozwiązań wewnątrz tego odcinka (np. w punkcie $x = 1$), ponieważ liniowa kombinacja kryteriów będzie osiągać minimum jedynie w punktach skrajnych $x = 0$ lub $x = 2$<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Pojęcia pokrewne i zastosowania

Optymalizacja wielokryterialna jest ściśle powiązana z wielokryterialnym podejmowaniem decyzji (MCDM), które zajmuje się wyborem najlepszej alternatywy z uwzględnieniem preferencji osoby podejmującej decyzję. Podstawowe metody przekształcania zadania wielokryterialnego w skalarne (skalaryzacji) obejmują:

- **Metodę ważonych sum**.
- **Metodę ograniczeń $\varepsilon$**: Optymalizowane jest jedno kryterium, a pozostałe przekształcane są w ograniczenia postaci $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Metoda ta jest w stanie znajdować rozwiązania na niewypukłych odcinkach frontu<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

Optymalizacja wielokryterialna znajduje szerokie zastosowanie w projektowaniu inżynierskim, ekonomii (np. optymalizacja portfela), zarządzaniu i ekologii.

## Zobacz też

- Optymalność w sensie Pareto
- Optymalizacja wektorowa
- Teoria podejmowania decyzji
- Systemy wspomagania decyzji
- Badania operacyjne

## Przypisy

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optymalizacja_wielokryterialna#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>