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title: "Optimisation multiobjectif"
source: "https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Optimisation_multiobjectif"
language: "fr"
categories:
  - "Category:Decision theory"
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  - "Category:Operations research"
  - "Category:Optimization"
revision_id: 5218
wiki_created_at: 2026-09-06T23:46:11Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:46:11Z
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# Optimisation multiobjectif

**L'optimisation multiobjectif** (également appelée **programmation multiobjectif**, en anglais *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) est une branche de l'optimisation mathématique qui traite des problèmes d'optimisation simultanée de deux fonctions objectif (ou critères) ou plus, qui sont généralement en conflit les unes avec les autres<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Formellement, le problème est formulé comme la minimisation d'une fonction objectif vectorielle sur un ensemble de solutions admissibles.

## Définition et terminologie

Un problème d'optimisation multiobjectif est généralement formulé comme suit : $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ où $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ est un ensemble non vide de solutions admissibles, et $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ sont les fonctions objectif ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. Le vecteur $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ est appelé le vecteur objectif.

Contrairement à l'optimisation scalaire, il n'existe généralement pas de solution unique dans un problème multiobjectif qui améliore simultanément les valeurs de tous les critères. Par conséquent, la notion classique d'optimum est généralisée en utilisant le concept d'optimalité de Pareto<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Solution de Pareto** (ou solution Pareto-optimale, ou solution efficace) : une solution admissible $x^{\ast} \in S$ pour laquelle il n'existe aucune autre solution $x \in S$ telle que $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ pour tous $i = 1,\ldots,k$, avec $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ pour au moins un indice $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. En d'autres termes, une solution est Pareto-optimale si aucune valeur de critère ne peut être améliorée sans dégrader au moins un autre critère.
- **Front de Pareto** (ou ensemble de Pareto) : l'ensemble de tous les vecteurs objectif correspondant aux solutions Pareto-optimales.
- **Solution faiblement Pareto-optimale** : une solution $x^{\ast} \in S$ pour laquelle il n'existe aucune autre solution $x \in S$ telle que $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ pour tous les $i$.

## Propriétés clés et théorèmes

- **Théorème de la somme pondérée** : Dans les problèmes convexes (où toutes les fonctions $f_{i}(x)$ et l'ensemble $S$ sont convexes), toute solution Pareto-optimale $x^{\ast}$ est une solution du problème scalaire de minimisation de la somme pondérée des critères $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ pour un certain ensemble de poids non négatifs $w_{i} \geq 0$. Cependant, dans les problèmes non convexes, cette méthode peut ne pas trouver certaines parties du front de Pareto<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

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- **Conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)** : Les conditions nécessaires d'optimalité pour les problèmes lisses sont généralisées au cas multiobjectif. En un point Pareto-optimal, il existe un ensemble non nul de multiplicateurs non négatifs (poids) pour lesquels les gradients des fonctions objectif et des contraintes actives sont linéairement dépendants<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

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- **Propriétés de l'ensemble des solutions** : Le front de Pareto possède un certain nombre de caractéristiques qualitatives importantes. Sa frontière est délimitée par le **point idéal** (composé des minima de chaque critère) et le **point nadir** (composé des maxima de chaque critère sur le front)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Exemples

- **Problème linéaire** : Minimiser $f_{1}(x) = - x_{1}$ et $f_{2}(x) = - x_{2}$ sous la contrainte $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Ici, l'amélioration d'un critère (par exemple, l'augmentation de $x_{1}$) entraîne inévitablement la dégradation de l'autre (la diminution de $x_{2}$). L'ensemble des solutions Pareto-optimales est le segment de la droite $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Problème non convexe** : Minimiser $f_{1}(x) = x^{2}$ et $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ sur l'intervalle $\lbrack 0,2\rbrack$. Le front de Pareto est non convexe. La méthode de la somme pondérée avec des poids positifs ne parviendra pas à trouver des solutions à l'intérieur de cet intervalle (par exemple, au point $x = 1$), car la combinaison linéaire des critères n'atteindra son minimum qu'aux points extrêmes $x = 0$ ou $x = 2$<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Concepts connexes et applications

L'optimisation multiobjectif est étroitement liée à la prise de décision multicritère (MCDM), qui étudie le choix de la meilleure alternative en tenant compte des préférences du décideur. Les principales méthodes de transformation d'un problème multiobjectif en un problème scalaire (scalarisation) incluent :

- **Méthode de la somme pondérée**.
- **Méthode des $\varepsilon$-contraintes** : Un critère est optimisé, tandis que les autres sont transformés en contraintes de la forme $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Cette méthode est capable de trouver des solutions sur les parties non convexes du front<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

L'optimisation multiobjectif trouve de nombreuses applications en ingénierie, en économie (par exemple, l'optimisation de portefeuille), en gestion et en écologie.

## Voir aussi

- Optimalité de Pareto
- Optimisation vectorielle
- Théorie de la décision
- Systèmes d'aide à la décision
- Recherche opérationnelle

## Références

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Optimisation multiobjectif". *Wikipédia*. <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Optimisation_multiobjectif" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Trifonov, A. G. *Optimisation multiobjectif*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Sobol, I. M., & Statnikov, R. B. (2006). *Le choix des paramètres optimaux dans les problèmes multicritères* (2e éd.). Drofa.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Optimisation_multiobjectif#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>