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title: "Operations research — 运筹学"
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# Operations research — 运筹学
**运筹学**（*Operations Research, OR*）是一个跨学科的科学领域，致力于开发和应用基于数学建模和各种启发式方法的定量优化方法。它是一种工具，用于为技术、经济、组织等各种性质的复杂系统中的管理决策提供预先的量化依据。
## 本质与目标
最初，运筹学被定义为一种科学方法，为管理者就其下属组织的活动做出决策提供量化基础。这门学科强调其应用性，旨在利用其他科学的成就来分析改进管理的具体问题。
在本学科的语境中，「运筹」（operation）指的是由统一构想联合起来、旨在实现特定目标的一系列受控活动。该术语起源于军事管理，意指按照特定计划执行的有目的的行动。
当需要组织一项可以通过不同方式实现的有目的的活动时，运筹学的方法便得以应用。此时，需要在多个可能的解决方案中选择一个，而每个方案都有其优缺点。运筹学的目标是依据效益指标，为最优决策提供预先的量化论证。决策本身超出了该学科的范围，属于决策者的职责范畴。
## 历史与发展
运筹学作为一门科学学科兴起于第二次世界大战期间。它的形成与被召集解决军事规划问题的科学家团队的活动有关。OR方法被用于组织作战飞行、规划海上行动以及分配资源。
战后，这些方法开始被应用于民用领域，如工业、物流、库存管理和生产重组。经典著作大多写于20世纪50至70年代（乔治·丹齐格、罗素·艾可夫、查尔斯·韦斯特·彻奇曼、E·伦纳德·阿诺夫）。
在苏联，运筹学方法主要以「数学建模」、「数学规划」、「数学优化方法」等名称发展。关键人物包括列昂尼德·康托罗维奇（线性规划创始人，1975年诺贝尔经济学奖得主）、鲍里斯·格涅坚科、叶莲娜·文策尔、N. P. 布斯连科。自20世纪末以来，「生产分析学」这一术语也被使用。
## 方法论
运筹学的方法论包括以下几个阶段：
1. 形式化初始问题。
2. 构建模型（数学、仿真等）。
3. 求解模型（解析或数值方法）。
4. 检验模型的充分性。
5. 实施解决方案并进行灵敏度分析。
该方法的特点在于将管理者的直觉与建模结果相结合。模型并非现实的完整复制品，而是一个有助于做出更合理决策的工具。
## 目标函数与效益标准
效益被定义为在实现目标过程中资源利用的产出率。为了比较不同方案，引入了一个量化标准——目标函数。这是一个形式化的效益指标，需要被最大化（如利润、生产率）或最小化（如成本、开销、时间）。
当存在多个标准时，便产生了多标准优化问题。在这种情况下，有效解是根据帕累托最优原则确定的——即在所有标准上都不劣于其他任何解的解。
## 问题的可形式化性
运筹学方法在解决结构良好（可形式化）、允许进行定量表述和构建数学模型的问题时最为有效。这些模型包括变量、约束和目标函数。满足所有约束的解称为可行解；若该解还能使目标函数达到极值，则为最优解。
## 运筹的数学模型
数学模型是在运筹学中应用定量方法的基础。它通过形式化的方式描述受控活动（运筹），突出关键参数、依赖关系和目标。模型总是对现实的简化和示意化，其准确性取决于模型的复杂性与可用信息之间的匹配程度。
构建模型的关键原则：
- 模型应反映现象的最重要特征，并考虑最显著的因素。
- 模型不应被次要细节过度填充，以免妨碍分析。
- 不存在通用的建模方法——每个模型都需根据目标、不确定性水平和数据可用性进行个性化选择。
- 建议对同一现象使用多种模型并比较结果（即所谓的「模型之争」）。
## 数学规划
数学规划是运筹学应用方法的核心。
问题被表述为：
- 可行解域；
- 目标函数；
- 约束条件。
数学规划可分为线性规划、非线性规划、整数规划和多标准规划。
- **线性规划** — 数学规划的一个分支，其目标函数和约束条件均为线性。用于在有限资源下进行优化。
- **非线性规划** — 目标函数或至少一个约束条件为非线性的优化问题。用于模拟复杂的依赖关系。
- **整数规划** — 部分或全部变量只取整数值的优化问题。适用于解决组合性质的问题。
- **多标准规划** — 同时考虑多个目标函数的优化领域。解决方案的选择需在不同标准之间进行权衡。
## 运筹学的典型问题
最典型的问题类别包括：
- **资源分配问题** — 在给定约束条件下，将有限资源在竞争性活动之间进行最优分配。例如：在原材料和设备有限的情况下制定产品生产计划。
- **运输问题** — 确定最优运输方案，以在将产品从供应地运往需求地的过程中最小化总成本。
- **指派问题** — 将执行者分配给任务（或将设备分配给操作），以使总成本最小化或总效益最大化。是运输问题的一种特例。
- **排队论问题** — 对存在排队现象的系统（如银行、仓库、电信中心）进行建模，以分析等待时间、资源负载并优化服务设备数量。
- **库存管理问题** — 确定补货和存储策略，以在最小化成本的同时满足需求。
- **设备更换问题** — 选择更换老化或磨损设备的时机，以最小化维修、运营和采购成本。
- **网络规划问题** — 在项目图中确定关键路径，优化网络（如运输或信息网络）中的流量，最小化项目完成时间。
- **切割与布局问题** — 优化对象（如在材料板上切割坯料）的布局，以最小化浪费。
- **对策论问题** — 模拟涉及两个或多个利益不一致方的冲突情况，从收益和风险的角度分析策略。
- **多标准优化问题** — 寻找在多个（通常是相互矛盾的）标准（如质量、成本、交付时间）下均达到最优的解决方案。
- **仿真建模** — 对行为无法用精确解析方法描述的复杂系统进行建模（例如，大型枢纽的物流或具有高度不确定性的生产系统）。
每类问题都可以表示为一个包含变量、约束和目标函数的数学模型。
## 方法
- 概率论与统计学
- 图论
- 对策论
- 仿真建模
- 排队模型
- 库存与更换模型
- 网络模型与关键路径法
## 方法的局限性
- 对初始数据过度敏感；
- 局部最优不保证系统最优；
- 评价标准与真实目标不符；
- 未充分考虑约束条件可能导致不良后果。
## 应用
运筹学应用于：
- 物流与库存管理；
- 生产规划；
- 建筑与资本规划；
- 经济、国防、能源；
- 政府与企业管理。
## 外部链接
- 运筹学（中文维基百科）
- Operations research（英文维基百科）
## 参考文献
- *康托罗维奇 L. V.* 生产组织与计划的数学方法. 1939.
- *文策尔 E. S.* 运筹学. 1972.
- *文策尔 E. S.* 运筹学：问题、原则、方法论. 第3版. 2004.
- *Hillier F. S., Lieberman G. J.* 运筹学导论. 第7版. 2005.
- *丹齐格 G. B.* 线性规划及其应用与推广. 1966.
- *Dantzig, G. B.* Linear Programming and Extensions. RAND, 1963.
- *Kantorovich, L. V.* Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production. 1960.
- *Churchman, C. W., Ackoff, R. L., Arnoff, E. L.* Introduction to Operations Research. 1957.
- *Hillier, F. S., Lieberman, G. J.* Introduction to Operations Research. 10th ed. 2014.
- *Winston, W. L.* Operations Research: Applications and Algorithms. 4th ed. 2004.
- *Ford, L. R., Fulkerson, D. R.* Maximal Flow Through a Network. 1956.
- *Nemhauser, G. L., Wolsey, L. A.* Integer and Combinatorial Optimization. Wiley, 1988.
- *Bellman, R.* Dynamic Programming. 1957.