---
title: "Obszar dopuszczalnych rozwiązań"
source: "https://systems-analysis.info/int/Obszar_dopuszczalnych_rozwi%C4%85za%C5%84"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Obszar_dopuszczalnych_rozwiązań"
language: "pl"
categories:
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Polish"
  - "Category:Terminology"
  - "Category:Terms"
revision_id: 5020
wiki_created_at: 2026-09-06T23:43:23Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:43:23Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:06:23Z
---

# Obszar dopuszczalnych rozwiązań

**Obszar dopuszczalnych rozwiązań (ODR)** (także **zbiór dopuszczalnych rozwiązań**, ang. *Feasible region, feasible set*) — w badaniach operacyjnych, optymalizacji i modelowaniu matematycznym jest to zbiór wszystkich możliwych rozwiązań (zestawów wartości zmiennych), które spełniają **wszystkie** ograniczenia nałożone na zadanie.

ODR stanowi podprzestrzeń, w której prowadzone jest poszukiwanie optymalnego rozwiązania. Każde rozwiązanie znajdujące się poza tym obszarem jest niedopuszczalne.

## Definicja i formowanie

Obszar dopuszczalnych rozwiązań formowany jest jako przecięcie zbiorów określanych przez każde poszczególne ograniczenie zadania. Ograniczenia mogą być przedstawione w postaci:

- **Nierówności:** Ustalają górne lub dolne granice dla wartości zmiennych lub ich kombinacji (np. „zużycie zasobu A nie może przekraczać 100 jednostek", „liczba wyprodukowanych wyrobów musi wynosić co najmniej 50 sztuk").
- **Równości:** Wymagają dokładnego spełnienia warunku (np. „łączna wielkość przewozów musi być równa 1000 ton", „bilans przepływów wchodzących i wychodzących równa się zero").
- **Warunków co do znaku zmiennych:** Często zmienne muszą być nieujemne, całkowitoliczbowe lub należeć do określonego zbioru dyskretnego.

Punkt (lub wektor wartości zmiennych) należy do ODR wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnia wszystkie te ograniczenia.

## Interpretacja geometryczna

ODR często ma przejrzystą interpretację geometryczną, szczególnie w zadaniach z niewielką liczbą zmiennych:

- **W przestrzeni dwuwymiarowej (2 zmienne):** Każde liniowe ograniczenie-nierówność wyznacza półpłaszczyznę. ODR stanowi przecięcie tych półpłaszczyzn — wypukły wielokąt (ewentualnie nieograniczony lub pusty).
- **W przestrzeni trójwymiarowej (3 zmienne):** Każde liniowe ograniczenie-nierówność wyznacza półprzestrzeń. ODR jest przecięciem tych półprzestrzeni — wypukłym wielościanem (poliedrem).
- **W przestrzeni wielowymiarowej:** ODR określony przez ograniczenia liniowe jest wypukłym wielościanem (polytopem).

W przypadku ograniczeń nieliniowych ODR może mieć bardziej złożoną postać i nie być wypukły.

## Rola w optymalizacji

Obszar dopuszczalnych rozwiązań odgrywa fundamentalną rolę w optymalizacji:

1\. **Określenie przestrzeni poszukiwań:** Optymalne rozwiązanie zadania (jeśli istnieje) **zawsze** znajduje się wewnątrz ODR lub na jego granicy. Algorytmy optymalizacji poszukują ekstremum funkcji celu właśnie w tym obszarze. 2. **Sprawdzenie istnienia rozwiązań:** Jeśli ODR jest zbiorem pustym (tj. ograniczenia są ze sobą sprzeczne), to zadanie nie ma dopuszczalnych rozwiązań, a co za tym idzie — również optymalnego rozwiązania. 3. **Wpływ na optymalne rozwiązanie:** Kształt i rozmiar ODR bezpośrednio wpływają na możliwość osiągnięcia ekstremum funkcji celu oraz na wartość tego ekstremum.

## Własności ODR (w zadaniach programowania liniowego)

W zadaniach programowania liniowego (PL), gdzie wszystkie ograniczenia i funkcja celu są liniowe, ODR posiada ważne własności:

- **Wypukłość:** Jeśli dwa punkty należą do ODR, to również cały odcinek łączący te punkty należy do ODR. Własność ta gwarantuje, że optymalne rozwiązanie (jeśli istnieje i jest jedyne) będzie znajdować się w jednym z wierzchołków wielościanu ODR.
- **Domkniętość:** ODR zawiera swoje granice (ze względu na nieostrą nierówność ≤, ≥ oraz równości).

ODR może być:

- **Ograniczony:** Ma skończone rozmiary.
- **Nieograniczony:** Rozciąga się nieskończenie w jednym lub kilku kierunkach.
- **Pusty:** Nie zawiera żadnego punktu.

## Literatura

- *Wentcel J. S.* Badania operacyjne: zadania, zasady, metodologia. — M.: Nauka, 1988.
- *Ackoff R., Sasieni M.* Podstawy badań operacyjnych. — M.: Mir, 1971.
- *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

## Zobacz też

- Badania operacyjne
- Optymalizacja
- Model matematyczny
- Ograniczenia
- Rozwiązanie dopuszczalne
- Rozwiązanie optymalne
- Funkcja celu
- Programowanie liniowe
- Zbiór wypukły