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title: "Nonlinear programming — 비선형 계획법"
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wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Nonlinear_programming_—_비선형_계획법"
language: "ko"
categories:
  - "Category:Korean"
  - "Category:Mathematical modeling"
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  - "Category:Operations research"
revision_id: 4931
wiki_created_at: 2026-09-06T23:42:04Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:42:04Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:05:46Z
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# Nonlinear programming — 비선형 계획법

**비선형 프로그래밍(NLP)**은 수학적 프로그래밍 및 운용과학의 한 분야로, 목적 함수 및/또는 하나 이상의 제약 조건이 결정 변수에 대한 **비선형 함수**인 최적화 문제를 다룹니다.

NLP는 선형 프로그래밍의 일반화이며, 변수 간의 관계가 엄격하게 비례하지 않는(즉, 직선이 아닌 곡선으로 표현되는) 더 광범위한 실제 시스템과 과정을 모델링할 수 있습니다.

## 주제 및 목적

비선형 프로그래밍은 다음과 같은 상황에서 최적해를 찾는 데 사용됩니다:

- 관리 가능한 매개변수에 대한 목표 지표(이익, 비용, 효율성 등)의 의존성이 비선형인 경우(예: 규모에 따른 체감 수익, 이차 비용).
- 자원 또는 기술 공정에 대한 제약 조건이 비선형 관계로 표현되는 경우(예: 화학 반응, 물리 법칙, 경제적 의존성).

  
NLP 문제는 여러 분야에서 발생합니다:

- 공학 설계(구조물, 공정의 최적화).
- 경제 및 금융(위험을 고려한 포트폴리오 최적화, 시장 모델링).
- 화학 공학(반응기 운전 조건의 최적화).
- Machine Learning(Neural Network 학습, 지지 벡터 머신).
- 생산 공정 관리. 물류(비선형 비용을 고려한 경우).

## NLP 문제의 수학적 정식화

비선형 프로그래밍의 일반적인 문제는 다음과 같이 공식화됩니다:

**비선형 목적 함수**를 최대화하거나 최소화하는 **결정 변수**의 값 집합을 찾아야 합니다. 이때 변수의 값은 **제약 조건** 시스템을 만족해야 하며, 이 제약 조건은 **부등식** 형태(예: "양 A는 B보다 작거나 같아야 한다")와 **등식** 형태(예: "양 C는 정확히 D와 같아야 한다") 모두로 표현될 수 있습니다. 중요한 점은 목적 또는 제약 조건을 설명하는 함수 중 적어도 하나가 **비선형**이어야 한다는 것입니다. 변수의 값이 0보다 크거나 같아야 한다는 **비음수 조건**이 자주 추가됩니다.

제약 조건을 만족하는 모든 변수 값의 집합은 **실행 가능 영역(feasible region)**을 형성합니다.

## 선형 프로그래밍과의 차이점

비선형 프로그래밍은 선형 프로그래밍(LP)과 본질적으로 다릅니다:

- 비선형성: 목적 함수 또는 제약 조건(또는 둘 다)에 비선형 의존성이 포함됩니다.
- 실행 가능 영역의 특성: NLP의 실행 가능 영역은 비볼록(non-convex)일 수 있습니다(LP에서는 실행 가능 영역이 항상 볼록 다면체인 것과 달리).
- 최적점의 특성: NLP에서 최적해는 반드시 실행 가능 영역의 꼭짓점에 위치하지 않으며, 영역의 경계 또는 내부에 있을 수 있습니다. NLP에서는 전역 최적이 아닌 지역 최적이 존재할 수 있습니다.
- 풀이의 복잡성: NLP 문제는 일반적으로 LP 문제보다 훨씬 풀기 어렵습니다. 모든 NLP 문제에 적용 가능한 단일 범용 알고리즘(심플렉스 방법과 같은)은 존재하지 않습니다.

## NLP의 주요 어려움과 과제

비선형 프로그래밍 문제를 푸는 것은 여러 어려움을 수반합니다:

- 지역 극값의 존재: 대부분의 NLP 방법은 지역 최적(어떤 근방에서 가장 좋은 해)만을 찾는 것을 보장합니다. 전역 최적(전체 실행 가능 영역에서 가장 좋은 해)을 찾는 것은 특히 비볼록 문제의 경우 어려운 과제입니다.
- 비볼록성: 문제가 볼록하지 않은 경우(목적 함수 또는 실행 가능 영역이 비볼록), 여러 지역 최적이 존재할 수 있으며, 표준 경사법이 그 중 하나에 "갇힐" 수 있습니다.
- 계산 복잡성: NLP 풀이 알고리즘은 LP에 비해 훨씬 더 많은 계산 자원을 필요로 하는 경우가 많습니다.

## NLP 문제의 중요한 분류

일반적인 복잡성에도 불구하고, 효율적인 풀이 방법이 개발된 중요한 NLP 문제의 하위 분류들이 존재합니다:

- 볼록 프로그래밍: 볼록 집합의 실행 가능 영역에서 볼록 함수를 최소화(또는 오목 함수를 최대화)하는 문제. 핵심 특성: 모든 지역 최솟값은 동시에 전역 최솟값이기도 합니다. 이는 최적해 탐색을 크게 단순화합니다.
- 이차 프로그래밍: 목적 함수가 이차 함수이고 모든 제약 조건이 선형인 경우.
- 분리 가능 프로그래밍: 목적 함수와 제약 조건이 각각 하나의 변수에만 의존하는 함수들의 합으로 표현될 수 있는 경우.

## NLP 문제의 풀이 방법

비선형 프로그래밍(NLP) 문제의 풀이 방법

**I. 비제약 최적화 방법(제약 없는 최적화):**

- 경사법(최급강하법, 켤레 경사법);
- 뉴턴 방법 및 준뉴턴 방법(예: BFGS);
- 헤시안 근사를 활용한 방법.

**II. 제약 최적화 방법(제약 있는 최적화):**

- 변환 방법:
  - 벌칙 함수법(penalty methods);
  - 장벽 함수법(barrier methods).
- 직접 방향 탐색 방법:
  - 가능 방향법.
- 최적성 조건 기반 방법:
  - 카루시-쿤-터커 방법(KKT 조건);
  - 라그랑주 승수법.
- 반복 방법:
  - 순차적 이차 프로그래밍(SQP);
  - 내부점 방법.

**III. 전역 최적화 방법:**

- 휴리스틱 및 메타휴리스틱 방법:
  - 유전 알고리즘;
  - 모의 담금질;
  - 금기 탐색(tabu search).
- 결정론적 방법:
  - 분기 한정법(branch and bound);
  - 특수 구조를 가진 문제에 대한 전역 최적화 알고리즘.

## 참고 문헌

- *Bazaraa M., Shetty C.* Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. — М.: Мир, 1982.
- *Fiacco A., McCormick G.* Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. — М.: Мир, 1972.
- *Himmelblau D.* Applied Nonlinear Programming. — М.: Мир, 1975.
- *Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J.* Numerical Optimization. — Springer, 2006. (2nd ed.)

## 참고 항목

- 운용과학
- 최적화
- 선형 프로그래밍
- 볼록 프로그래밍
- 목적 함수
- 제약 조건
- 실행 가능 영역