---
title: "Nonlinear programming — การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรง"
source: "https://systems-analysis.info/int/Nonlinear_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%87"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Nonlinear_programming_—_การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรง"
language: "th"
categories:
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Modeling"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Thai"
revision_id: 4928
wiki_created_at: 2026-09-06T23:42:01Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:42:01Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:05:45Z
---

# Nonlinear programming — การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรง

**การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรง (NLP)** — เป็นสาขาหนึ่งของการโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์และการวิจัยการดำเนินงาน ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด โดยที่ฟังก์ชันเป้าหมายและ/หรืออย่างน้อยหนึ่งในข้อจำกัดเป็น**ฟังก์ชันไม่เชิงเส้น**ของตัวแปรการตัดสินใจ

NLP เป็นการขยายแนวคิดของการโปรแกรมเชิงเส้นตรง และช่วยให้สามารถจำลองระบบและกระบวนการในความเป็นจริงที่หลากหลายกว่า ในกรณีที่ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนโดยตรง (กล่าวคือ อธิบายด้วยเส้นโค้ง ไม่ใช่เส้นตรง)

## หัวข้อและวัตถุประสงค์

การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรงใช้สำหรับการหาแนวทางแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดในสถานการณ์ที่:

- ความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดเป้าหมาย (กำไร ต้นทุน ประสิทธิภาพ ฯลฯ) กับพารามิเตอร์ที่ควบคุมได้นั้นเป็นแบบไม่เชิงเส้น (เช่น ผลตอบแทนที่ลดลงตามขนาด ต้นทุนกำลังสอง)
- ข้อจำกัดด้านทรัพยากรหรือกระบวนการทางเทคโนโลยีอธิบายด้วยความสัมพันธ์ที่ไม่เชิงเส้น (เช่น ปฏิกิริยาเคมี กฎทางฟิสิกส์ ความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ)

  
ปัญหา NLP เกิดขึ้นในหลายสาขา:

- การออกแบบเชิงวิศวกรรม (การหาค่าเหมาะสมของโครงสร้างและกระบวนการ)
- เศรษฐศาสตร์และการเงิน (การหาค่าเหมาะสมของพอร์ตโฟลิโอโดยคำนึงถึงความเสี่ยง การสร้างแบบจำลองตลาด)
- เทคโนโลยีเคมี (การหาค่าเหมาะสมของสภาวะการทำงานของเครื่องปฏิกรณ์)
- Machine Learning (การฝึก Neural Network, Support Vector Machine)
- การจัดการกระบวนการผลิต การโลจิสติกส์ (โดยคำนึงถึงต้นทุนที่ไม่เชิงเส้น)

## การกำหนดปัญหา NLP ในเชิงคณิตศาสตร์

ปัญหาทั่วไปของการโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรงกำหนดดังนี้:

ต้องการหาชุดค่าของ**ตัวแปรการตัดสินใจ**ที่ทำให้**ฟังก์ชันเป้าหมายเชิงไม่เส้นตรง**มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด โดยค่าของตัวแปรต้องเป็นไปตามระบบ**ข้อจำกัด** ซึ่งสามารถแสดงในรูปของ**อสมการ** (เช่น "ค่า A ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ B") หรือในรูปของ**สมการ** (เช่น "ค่า C ต้องเท่ากับ D อย่างแน่นอน") สิ่งสำคัญคืออย่างน้อยหนึ่งในฟังก์ชันที่อธิบายเป้าหมายหรือข้อจำกัดต้องเป็น**แบบไม่เชิงเส้น** มักจะมีการเพิ่มเงื่อนไข**ความไม่เป็นลบ**ของตัวแปร กล่าวคือ ข้อกำหนดที่ค่าของตัวแปรต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

เซตของชุดค่าตัวแปรทั้งหมดที่เป็นไปตามข้อจำกัดเรียกว่า**บริเวณคำตอบที่ยอมรับได้ (Feasible Region)**

## ความแตกต่างจากการโปรแกรมเชิงเส้นตรง

การโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรงแตกต่างจากการโปรแกรมเชิงเส้นตรง (LP) อย่างมีนัยสำคัญ:

- ความไม่เชิงเส้น: ฟังก์ชันเป้าหมายหรือข้อจำกัด (หรือทั้งสองอย่าง) มีความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้น
- คุณสมบัติของบริเวณคำตอบที่ยอมรับได้: บริเวณคำตอบที่ยอมรับได้ใน NLP อาจไม่เป็นแบบ Convex (ต่างจาก LP ที่บริเวณดังกล่าวเป็น Convex Polytope เสมอ)
- คุณสมบัติของจุดที่เหมาะสมที่สุด: คำตอบที่เหมาะสมที่สุดใน NLP ไม่จำเป็นต้องอยู่ที่จุดยอดของบริเวณคำตอบที่ยอมรับได้ อาจอยู่บนขอบเขตหรือภายในบริเวณดังกล่าวก็ได้ ใน NLP อาจมีจุดที่เหมาะสมที่สุดเฉพาะที่ (Local Optimum) ซึ่งไม่ใช่จุดที่เหมาะสมที่สุดโดยรวม (Global Optimum)
- ความซับซ้อนของการแก้ปัญหา: ปัญหา NLP โดยทั่วไปมีความซับซ้อนในการแก้ปัญหามากกว่าปัญหา LP อย่างมีนัยสำคัญ ไม่มีอัลกอริทึมสากลเพียงตัวเดียวที่เทียบเท่ากับวิธี Simplex สำหรับปัญหา NLP ทุกประเภท

## ความยากและความท้าทายหลักของ NLP

การแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรงมาพร้อมกับความยากหลายประการ:

- การมีอยู่ของค่าสุดขีดเฉพาะที่: วิธีการส่วนใหญ่ของ NLP รับประกันเพียงการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเฉพาะที่ (คำตอบที่ดีที่สุดในบริเวณใกล้เคียงบางส่วน) การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดโดยรวม (คำตอบที่ดีที่สุดในบริเวณคำตอบที่ยอมรับได้ทั้งหมด) เป็นงานที่ซับซ้อน โดยเฉพาะสำหรับปัญหาที่ไม่เป็น Convex
- ความไม่เป็น Convex: หากปัญหาไม่เป็น Convex (ฟังก์ชันเป้าหมายหรือบริเวณคำตอบที่ยอมรับได้ไม่เป็น Convex) อาจมีจุดที่เหมาะสมที่สุดเฉพาะที่หลายจุด และวิธีการ Gradient มาตรฐานอาจ "ติดอยู่" ที่จุดใดจุดหนึ่ง
- ความซับซ้อนในการคำนวณ: อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา NLP มักต้องการทรัพยากรการคำนวณมากกว่า LP อย่างมีนัยสำคัญ

## ประเภทสำคัญของปัญหา NLP

แม้จะมีความซับซ้อนโดยทั่วไป แต่มีประเภทย่อยที่สำคัญของปัญหา NLP ซึ่งมีการพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพ:

- Convex Programming: ปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน Convex บนเซตคำตอบที่ยอมรับได้แบบ Convex (หรือการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน Concave) คุณสมบัติสำคัญ: ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ใดๆ ก็เป็นค่าต่ำสุดโดยรวมด้วย ซึ่งช่วยลดความซับซ้อนในการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดได้อย่างมาก
- Quadratic Programming: ฟังก์ชันเป้าหมายเป็นแบบกำลังสอง และข้อจำกัดทั้งหมดเป็นแบบเชิงเส้น
- Separable Programming: ฟังก์ชันเป้าหมายและข้อจำกัดสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชัน โดยแต่ละฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงตัวเดียว

## วิธีการแก้ปัญหา NLP

วิธีการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงไม่เส้นตรง (NLP)

**I. วิธีการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดแบบไม่มีข้อจำกัด (Unconstrained Optimization):**

- วิธีการ Gradient (วิธีการลดชันที่เร็วที่สุด, วิธีการ Conjugate Gradient);
- วิธีการ Newton และวิธีการ Quasi-Newton (เช่น BFGS);
- วิธีการที่ใช้การประมาณค่า Hessian

**II. วิธีการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดแบบมีข้อจำกัด (Constrained Optimization):**

- วิธีการแปลงรูป:
  - วิธีการ Penalty Functions;
  - วิธีการ Barrier Functions.
- วิธีการค้นหาทิศทางโดยตรง:
  - วิธีการทิศทางที่เป็นไปได้
- วิธีการที่อิงตามเงื่อนไขความเหมาะสมที่สุด:
  - วิธีการ Karush-Kuhn-Tucker (KKT Conditions);
  - วิธีการตัวคูณ Lagrange
- วิธีการทำซ้ำ:
  - Sequential Quadratic Programming (SQP);
  - วิธีการจุดภายใน

**III. วิธีการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดโดยรวม (Global Optimization):**

- วิธีการ Heuristic และ Metaheuristic:
  - Genetic Algorithm;
  - Simulated Annealing;
  - Tabu Search
- วิธีการเชิง Deterministic:
  - Branch and Bound;
  - อัลกอริทึม Global Optimization สำหรับปัญหาที่มีโครงสร้างพิเศษ

## เอกสารอ้างอิง

- *Bazara M., Shetty C.* Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. — มอสโก: Mir, 1982.
- *Fiacco A., McCormick G.* Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. — มอสโก: Mir, 1972.
- *Himmelblau D.* Applied Nonlinear Programming. — มอสโก: Mir, 1975.
- *Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J.* Numerical Optimization. — Springer, 2006. (2nd ed.)

## ดูเพิ่มเติม

- การวิจัยการดำเนินงาน
- การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด
- การโปรแกรมเชิงเส้นตรง
- Convex Programming
- ฟังก์ชันเป้าหมาย
- ข้อจำกัด
- บริเวณคำตอบที่ยอมรับได้