---
title: "Network model (operations research) — מודל רשת"
source: "https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Network_model_(operations_research)_—_מודל_רשת"
language: "he"
categories:
  - "Category:Hebrew"
  - "Category:Operations research"
revision_id: 4864
wiki_created_at: 2026-09-06T23:41:07Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:41:07Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:05:21Z
---

# Network model (operations research) — מודל רשת

**מודלים רשתיים** (במחקר ביצועים; באנגלית *Network models*) — הם מחלקה של מודלים מתמטיים המייצגים בעיה בצורת גרף (רשת), שבו קודקודים (צמתים) מסמנים עצמים או מצבים, וצלעות (קשתות) — קשרים או תהליכים ביניהם<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-en-wiki-flow-network-1)</sup>. בהקשר של אופטימיזציה, במונח "רשת" מובן לעתים קרובות גרף מכוון, אשר בניתוח תפעולי נקרא ישירות "רשת"; קודקודי רשת כזו נקראים צמתים, והצלעות — קשתות<sup>[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-belgut-lec-2)</sup>.

מודלים רשתיים הם כלי עוצמתי לניתוח ואופטימיזציה של מערכות מורכבות בתחומים כגון לוגיסטיקה, תקשורת, ניהול פרויקטים ופיננסים. כוחם טמון ברמת ההפשטה הגבוהה: צומת יכול לייצג עיר, נתב מחשב או שלב בפרויקט, וקשת — דרך, ערוץ תקשורת או פעולה טכנולוגית.

## הגדרה וטרמינולוגיה

הבסיס למודלים רשתיים הוא תורת הגרפים. המושגים המרכזיים הם:

- **רשת זרימה** (באנגלית *flow network*): גרף מכוון שבו לכל צלע יש **קיבולת** (*capacity*) ו**זרימה** (*flow*). בגרף מוגדרים שני קודקודים מיוחדים: **מקור** (*source*), ממנו יוצאת הזרימה, ו**שקע** (*sink*), אליו היא נכנסת<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-en-wiki-flow-network-1)</sup>.
- **חוק שימור הזרימה**: עבור כל קודקוד שאינו מקור או שקע, סך הזרימה הנכנסת חייב להיות שווה לסך הזרימה היוצאת. תנאי זה הוא אנלוג דיסקרטי לחוקי שימור פיזיים<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-transport-net-3)</sup>.
- **תכנון רשתי**: מודל המייצג פרויקט כמכלול של פעולות קשורות זו בזו (קשתות) ואירועים (צמתים). רשתות כאלה הן גרפים מכוונים אציקליים, המשקפים את סדר ביצוע העבודות<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-cpm-pert-4)</sup>.

## מאפיינים ומשפטים מרכזיים

למודלים רשתיים יש מספר מאפיינים מיוחדים המאפשרים שימוש באלגוריתמים יעילים ביותר לפתרונם.

- **שלמות הפתרון**: בעיות רבות של אופטימיזציה ברשת (כגון זרימה מקסימלית או מסלול קצר ביותר) מחזיקות בתכונה של אוניטודולריות מלאה של מטריצת האילוצים. בזכות כך, אם פרמטרי הבעיה (קיבולות, אורכים) הם שלמים, הפתרון האופטימלי שנמצא בשיטות תכנות לינארי יהיה גם שלם, ללא צורך בהכנסת אילוצים נוספים<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-mit-amp-ch8-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)</sup>.
- **משפט הזרימה המקסימלית והחתך המינימלי**: תוצאה מרכזית בתורת הזרימות. קובע כי ערך הזרימה המקסימלית מהמקור לשקע שווה לקיבולת המינימלית מבין כל החתכים המפרידים בין המקור לשקע. משפט זה מבסס קריטריון אופטימליות לזרימה ועומד בבסיס אלגוריתמים רבים<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-goldberg-tarjan-1990-7)</sup>.
- **עיקרון האופטימליות למסלולים קצרים ביותר**: אם המסלול מנקודה A לנקודה C הוא הקצר ביותר, אזי כל קטע ממנו (למשל, מנקודת ביניים B עד C) הוא גם המסלול הקצר ביותר בין הקודקודים המתאימים. תכונה זו, העומדת בבסיס התכנות הדינמי, מבטיחה את נכונותם של אלגוריתמים כגון אלגוריתם דייקסטרה<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-shortest-path-8)</sup>.
- **תכונות עץ הפרישה המינימלי (MST)**:
- **תכונת החתך**: עבור כל חתך בגרף, הצלע בעלת המשקל המינימלי החוצה את החתך שייכת לפחות ל-MST אחד.
- **תכונת המעגל**: בכל מעגל בגרף, הצלע בעלת המשקל המקסימלי אינה שייכת לאף MST.

על תכונות אלה מבוססת נכונות האלגוריתמים "החמדניים" של פרים וקרוסקל<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-mst-9)</sup>.

## בעיות מרכזיות באופטימיזציה ברשתות

- **בעיית המסלול הקצר ביותר**: מציאת מסלול בעל אורך (משקל) כולל מינימלי בין שני צמתים נתונים. נפתרת באמצעות אלגוריתם דייקסטרה (למשקלים אי-שליליים) או אלגוריתם בלמן-פורד (למשקלים כלליים)<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-shortest-path-8)</sup>.
- **בעיית הזרימה המקסימלית**: קביעת הזרימה המקסימלית האפשרית מהמקור לשקע בהינתן קיבולות הקשתות. השיטה הקלאסית לפתרון — אלגוריתם פורד-פולקרסון<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)</sup>.
- **בעיית עץ הפרישה המינימלי**: מציאת תת-גרף המחבר את כל קודקודי הרשת ובעל עלות כוללת מינימלית של צלעות.
- **שיטת המסלול הקריטי (CPM)**: במודלים רשתיים לתכנון — קביעת רצף העבודות הארוך ביותר, הקובע את הזמן המינימלי האפשרי לביצוע הפרויקט כולו. עבודות הנמצאות על מסלול זה אינן כוללות רזרבה זמנית<sup>[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-cpm-10)</sup>.

## דוגמאות

- **מסלול קצר ביותר**: מציאת מסלול אופטימלי על ידי מערכת ניווט בין שתי נקודות במפת עיר, שבה ערים הן צמתים ודרכים הן קשתות עם משקלים השווים לאורך או לזמן הנסיעה.
- **זרימה מקסימלית**: קביעת קיבולת המקסימלית של רשת צנרת, שבה תחנות שאיבה הן צמתים וצינורות הן קשתות עם קיבולת מוגבלת.
- **עץ פרישה מינימלי**: תכנון רשת תקשורת (לדוגמה, הנחת כבל סיבים אופטיים) לחיבור מספר ערים באורך כבל כולל מינימלי.
- **מסלול קריטי**: בפרויקט בנייה של בית, שבו עבודות (יציקת יסודות, הקמת קירות, התקנת גג) מחזיקות משך מוגדר ותלויות טכנולוגיות, המסלול הקריטי קובע את המועד המינימלי לסיום הבנייה. כל עיכוב בעבודה הנמצאת על מסלול זה יגרור עיכוב של הפרויקט כולו<sup>[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_note-ru-wiki-cpm-10)</sup>.

## ראו גם

- מחקר ביצועים
- תורת הגרפים
- בעיית התחבורה
- שיטת המסלול הקריטי
- PERT

## הערות

1.  <span id="cite_note-en-wiki-flow-network-1">↑ <sup>[1.0](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-en-wiki-flow-network_1-0)</sup> <sup>[1.1](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-en-wiki-flow-network_1-1)</sup> "Flow network". *Wikipedia*. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Flow_network" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-belgut-lec-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-belgut-lec_2-0) "Тема 10: Сетевые модели". Учебное пособие. Гомель: БелГУТ. <a href="https://elib.gsu.by/bitstream/123456789/4781/13/Тема10_Сетевые%20модели_net_lec.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-ru-wiki-transport-net-3">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-transport-net_3-0) "Транспортная сеть". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Транспортная_сеть" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ru-wiki-cpm-pert-4">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-cpm-pert_4-0) "Сетевое планирование". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Сетевое_планирование" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-mit-amp-ch8-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-mit-amp-ch8_5-0) Bradley S. P., Hax A. C., Magnanti T. L. (1977). *Applied Mathematical Programming*. Addison-Wesley. Ch.8: Network Models. <a href="https://web.mit.edu/15.053/www/AMP-Chapter-08.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
6.  <span id="cite_note-ru-wiki-max-flow-6">↑ <sup>[6.0](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-0)</sup> <sup>[6.1](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-1)</sup> <sup>[6.2](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-2)</sup> "Задача о максимальном потоке". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_максимальном_потоке" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>
7.  <span id="cite_note-goldberg-tarjan-1990-7">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-goldberg-tarjan-1990_7-0) Goldberg A. V., Tardos É., Tarjan R. E. (1990). "Network Flow Algorithms". In: *Paths, Flows, and VLSI-Layout*. Springer. <a href="https://www.cs.cornell.edu/~eva/Network.Flow.Algorithms.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[7]</a></span>
8.  <span id="cite_note-ru-wiki-shortest-path-8">↑ <sup>[8.0](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-shortest-path_8-0)</sup> <sup>[8.1](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-shortest-path_8-1)</sup> "Задача о кратчайшем пути". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_кратчайшем_пути" class="external autonumber" rel="nofollow">[8]</a></span>
9.  <span id="cite_note-ru-wiki-mst-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-mst_9-0) "Минимальное остовное дерево". *Википедия*.</span>
10. <span id="cite_note-ru-wiki-cpm-10">↑ <sup>[10.0](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-cpm_10-0)</sup> <sup>[10.1](https://systems-analysis.info/int/Network_model_(operations_research)_%E2%80%94_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%A8%D7%A9%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-cpm_10-1)</sup> "Метод критического пути". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_критического_пути" class="external autonumber" rel="nofollow">[9]</a></span>