--- title: "Multi-objective optimization — 다기준 최적화" source: "https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Multi-objective_optimization_—_다기준_최적화" language: "ko" categories: - "Category:Decision theory" - "Category:Korean" - "Category:Operations research" revision_id: 4711 wiki_created_at: 2026-09-06T23:38:50Z wiki_modified_at: 2026-09-06T23:38:50Z downloaded_at: 2026-09-07T23:04:10Z --- # Multi-objective optimization — 다기준 최적화 **다목적 최적화** (또는 **다기준 프로그래밍**, 영어: *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — 두 개 이상의 목적 함수(기준)를 동시에 최적화하는 문제를 연구하는 수학적 최적화의 한 분야로, 이 목적 함수들은 일반적으로 서로 상충한다^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-trifonov-matlab-2)}. 형식적으로 이 문제는 허용 가능한 해의 집합 위에서 벡터 목적 함수를 최소화하는 것으로 기술된다. ## 정의 및 용어 다목적 최적화 문제는 일반적으로 다음과 같이 기술된다: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ 여기서 $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ 는 공집합이 아닌 허용 가능한 해의 집합이며, $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ 은 목적 함수($k \geq 2$)이다^{[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)}. 벡터 $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ 를 목적 벡터라고 한다. 스칼라 최적화와 달리, 다기준 설정에서는 일반적으로 모든 기준의 값을 동시에 개선하는 단일 해가 존재하지 않는다. 따라서 최적성의 고전적 개념은 파레토 최적성 개념을 사용하여 일반화된다^{[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-ehrgott-pareto-4)}. - **파레토 해** (파레토 최적 또는 효율적 해): 다른 해 $x \in S$ 가 존재하지 않는 허용 가능한 해 $x^{\ast} \in S$ 로, 모든 $i = 1,\ldots,k$ 에 대해 $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ 이고, 적어도 하나의 인덱스 $j$ 에 대해 $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ 인 해를 말한다^{[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-ehrgott-pareto-4)}. 즉, 어떤 기준의 값도 다른 하나 이상의 기준을 악화시키지 않고는 개선할 수 없는 경우 그 해를 파레토 최적이라 한다. - **파레토 프론트** (또는 파레토 집합): 파레토 최적 해에 대응하는 모든 목적 벡터의 집합. - **약 파레토 최적 해**: 다른 해 $x \in S$ 가 존재하지 않는 해 $x^{\ast} \in S$ 로, 모든 $i$ 에 대해 $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ 인 해를 말한다. ## 주요 성질 및 정리 - **가중 합 정리**: 볼록 문제(모든 함수 $f_{i}(x)$ 와 집합 $S$ 이 볼록인 경우)에서 임의의 파레토 최적 해 $x^{\ast}$ 는 어떤 음이 아닌 가중치 집합 $w_{i} \geq 0$ 에 대해 기준의 가중 합 $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ 을 최소화하는 스칼라 문제의 해가 된다. 그러나 비볼록 문제에서는 이 방법이 파레토 프론트의 일부 영역을 찾지 못할 수 있다^{[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-marler-arora-2010-6)}. - **카루시-쿤-터커(KKT) 최적성 조건**: 매끄러운 문제에 대한 최적성의 필요조건은 다기준의 경우로 일반화된다. 파레토 최적점에서는 목적 함수의 기울기와 활성 제약 조건의 기울기가 선형 종속이 되는 음이 아닌 승수(가중치)의 영이 아닌 집합이 존재한다^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-miettinen-book-7)}. - **해 집합의 성질**: 파레토 프론트는 여러 중요한 정성적 특성을 가진다. 그 경계는 모든 기준의 원소별 최솟값으로 구성된 **이상점(ideal point)** 과 프론트 위의 원소별 최댓값으로 구성된 **나디르 점(nadir point)** 에 의해 한정된다^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-miettinen-book-7)}. ## 예시 - **선형 문제**: $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$ 의 제약 조건 하에서 $f_{1}(x) = - x_{1}$ 과 $f_{2}(x) = - x_{2}$ 를 최소화한다. 여기서 하나의 기준을 개선하면(예: $x_{1}$ 를 증가시키면) 필연적으로 다른 기준이 악화된다($x_{2}$ 가 감소). 파레토 최적 해의 집합은 선분 $x_{1} + x_{2} = 1$ 이다. - **비볼록 문제**: 구간 $\lbrack 0,2\rbrack$ 위에서 $f_{1}(x) = x^{2}$ 과 $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ 를 최소화한다. 파레토 프론트는 비볼록이다. 양의 가중치를 이용한 가중 합 방법은 이 구간의 내부 해(예: 점 $x = 1$)를 찾지 못하는데, 기준의 선형 결합이 양 끝점 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 에서만 최솟값에 도달하기 때문이다^{[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-ehrgott-book-8)}. ## 관련 개념 및 응용 다목적 최적화는 의사 결정자의 선호도를 고려하여 최선의 대안을 선택하는 것을 연구하는 다기준 의사 결정(MCDM)과 밀접하게 관련되어 있다. 다기준 문제를 스칼라 문제로 변환하는(스칼라화) 주요 방법은 다음과 같다: - **가중 합 방법**. - **$\varepsilon$-제약 방법**: 하나의 기준을 최적화하고 나머지는 $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$ 형태의 제약 조건으로 전환한다. 이 방법은 프론트의 비볼록 구간에서도 해를 찾을 수 있다^{[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_note-mavrotas-2009-9)}. 다목적 최적화는 공학 설계, 경제학(예: 포트폴리오 최적화), 경영 및 환경 분야에서 폭넓게 응용된다. ## 같이 보기 - 파레토 최적성 - 벡터 최적화 - 의사 결정 이론 - 의사 결정 지원 시스템 - 운용 과학 ## 각주 1. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. [1] 2. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. [2] 3. ↑ ^{[3.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)} ^{[3.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)} "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. [3] 4. ↑ ^{[4.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)} ^{[4.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)} Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. [4] 5. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа. 6. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. [5] 7. ↑ ^{[7.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-miettinen-book_7-0)} ^{[7.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-miettinen-book_7-1)} Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers. 8. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag. 9. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%EB%8B%A4%EA%B8%B0%EC%A4%80_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. [6]