---
title: "Multi-objective optimization — การเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์"
source: "https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Multi-objective_optimization_—_การเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์"
language: "th"
categories:
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Thai"
revision_id: 4708
wiki_created_at: 2026-09-06T23:38:48Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:38:48Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:04:08Z
---

# Multi-objective optimization — การเพิ่มประสิทธิภาพหลายวัตถุประสงค์

**การปรับให้เหมาะสมแบบหลายเกณฑ์** (หรือ **การโปรแกรมแบบหลายเกณฑ์** อังกฤษ: *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — คือสาขาหนึ่งของการปรับให้เหมาะสมทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาการปรับให้เหมาะสมพร้อมกันตามฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (เกณฑ์) ตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป ซึ่งโดยทั่วไปมักขัดแย้งกัน<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup> ในรูปแบบทางการ ปัญหาดังกล่าวเขียนในรูปการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเวกเตอร์บนเซตของคำตอบที่เป็นไปได้

## นิยามและศัพท์บัญญัติ

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบหลายเกณฑ์ในรูปแบบทั่วไปเขียนได้ดังนี้: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ โดยที่ $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ คือเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ซึ่งไม่ว่างเปล่า และ $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ คือฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup> เวกเตอร์ $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ เรียกว่าเวกเตอร์วัตถุประสงค์

ต่างจากการปรับให้เหมาะสมแบบสเกลาร์ ในการกำหนดปัญหาแบบหลายเกณฑ์มักไม่มีคำตอบเดียวที่ปรับปรุงค่าของเกณฑ์ทั้งหมดพร้อมกันได้ ดังนั้นแนวคิดคลาสสิกของค่าเหมาะที่สุดจึงถูกขยายโดยใช้แนวคิดความเหมาะสมตามแบบพาเรโต<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>

- **คำตอบพาเรโต** (คำตอบที่เหมาะสมตามพาเรโตหรือคำตอบที่มีประสิทธิภาพ): คำตอบที่เป็นไปได้ $x^{\ast} \in S$ ซึ่งไม่มีคำตอบอื่น $x \in S$ ที่ทำให้ $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ สำหรับทุก $i = 1,\ldots,k$ และ $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ สำหรับดัชนีอย่างน้อยหนึ่งตัว $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup> กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบจะเหมาะสมตามพาเรโตหากไม่สามารถปรับปรุงค่าของเกณฑ์ใดๆ ได้โดยไม่ทำให้เกณฑ์อื่นอย่างน้อยหนึ่งเกณฑ์แย่ลง
- **แนวรบพาเรโต** (หรือเซตพาเรโต): เซตของเวกเตอร์วัตถุประสงค์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับคำตอบที่เหมาะสมตามพาเรโต
- **คำตอบที่เหมาะสมตามพาเรโตแบบอ่อน**: คำตอบ $x^{\ast} \in S$ ซึ่งไม่มีคำตอบอื่น $x \in S$ ที่ทำให้ $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ สำหรับทุก $i$

## คุณสมบัติสำคัญและทฤษฎีบท

- **ทฤษฎีบทผลรวมถ่วงน้ำหนัก**: ในปัญหาแบบนูน (ที่ฟังก์ชัน $f_{i}(x)$ ทั้งหมดและเซต $S$ มีความนูน) คำตอบที่เหมาะสมตามพาเรโตใดๆ $x^{\ast}$ คือคำตอบของปัญหาสเกลาร์การหาค่าต่ำสุดของผลรวมถ่วงน้ำหนักของเกณฑ์ $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ สำหรับชุดน้ำหนักที่ไม่เป็นลบบางชุด $w_{i} \geq 0$ อย่างไรก็ตาม ในปัญหาที่ไม่นูน วิธีนี้อาจไม่สามารถค้นหาบางส่วนของแนวรบพาเรโตได้<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>

<!-- -->

- **เงื่อนไขความเหมาะสมของ Karush–Kuhn–Tucker (KKT)**: เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเหมาะสมของปัญหาที่มีความเรียบถูกขยายสู่กรณีหลายเกณฑ์ ที่จุดที่เหมาะสมตามพาเรโตจะมีชุดตัวคูณ (น้ำหนัก) ที่ไม่เป็นลบซึ่งไม่เป็นศูนย์ โดยที่ gradient ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดที่ใช้งานอยู่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-miettinen-book-7)</sup>

<!-- -->

- **คุณสมบัติของเซตคำตอบ**: แนวรบพาเรโตมีลักษณะเชิงคุณภาพที่สำคัญหลายประการ ขอบเขตของมันถูกกำหนดโดย **จุดอุดมคติ** (ประกอบจากค่าต่ำสุดของแต่ละเกณฑ์) และ **จุดนาดีร์** (ประกอบจากค่าสูงสุดของแต่ละเกณฑ์บนแนวรบ)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-miettinen-book-7)</sup>

## ตัวอย่าง

- **ปัญหาเชิงเส้น**: หาค่าต่ำสุดของ $f_{1}(x) = - x_{1}$ และ $f_{2}(x) = - x_{2}$ ภายใต้ข้อจำกัด $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$ ที่นี่การปรับปรุงเกณฑ์หนึ่ง (เช่น การเพิ่ม $x_{1}$) ย่อมนำไปสู่การทำให้เกณฑ์อื่นแย่ลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ (การลดลงของ $x_{2}$) เซตของคำตอบที่เหมาะสมตามพาเรโตคือส่วนของเส้นตรง $x_{1} + x_{2} = 1$
- **ปัญหาที่ไม่นูน**: หาค่าต่ำสุดของ $f_{1}(x) = x^{2}$ และ $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ บนช่วง $\lbrack 0,2\rbrack$ แนวรบพาเรโตมีลักษณะไม่นูน วิธีผลรวมถ่วงน้ำหนักที่มีน้ำหนักบวกไม่สามารถค้นหาคำตอบภายในช่วงนี้ได้ (เช่น ที่จุด $x = 1$) เนื่องจากการรวมเชิงเส้นของเกณฑ์จะบรรลุค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุดปลาย $x = 0$ หรือ $x = 2$ เท่านั้น<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>

## แนวคิดที่เกี่ยวข้องและการประยุกต์ใช้

การปรับให้เหมาะสมแบบหลายเกณฑ์มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับการตัดสินใจแบบหลายเกณฑ์ (MCDM) ซึ่งศึกษาการเลือกทางเลือกที่ดีที่สุดโดยคำนึงถึงความต้องการของผู้ตัดสินใจ วิธีหลักในการแปลงปัญหาหลายเกณฑ์ให้เป็นสเกลาร์ (การทำสเกลาไรเซชัน) ได้แก่:

- **วิธีผลรวมถ่วงน้ำหนัก**
- **วิธีข้อจำกัด $\varepsilon$**: ปรับให้เหมาะสมเกณฑ์หนึ่งในขณะที่แปลงเกณฑ์อื่นเป็นข้อจำกัดในรูปแบบ $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$ วิธีนี้สามารถค้นหาคำตอบบนส่วนที่ไม่นูนของแนวรบได้<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>

การปรับให้เหมาะสมแบบหลายเกณฑ์มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในการออกแบบทางวิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ (เช่น การปรับพอร์ตโฟลิโอให้เหมาะสม) การบริหารจัดการ และนิเวศวิทยา

## ดูเพิ่มเติม

- ความเหมาะสมตามพาเรโต
- การปรับให้เหมาะสมเชิงเวกเตอร์
- ทฤษฎีการตัดสินใจ
- ระบบสนับสนุนการตัดสินใจ
- การวิจัยเชิงปฏิบัติการ

## หมายเหตุ

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%96%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B9%8C#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>