---
title: "Multi-objective optimization — বহু-উদ্দেশ্যমূলক অপ্টিমাইজেশন"
source: "https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Multi-objective_optimization_—_বহু-উদ্দেশ্যমূলক_অপ্টিমাইজেশন"
language: "bn"
categories:
  - "Category:Bengali"
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Operations research"
revision_id: 4707
wiki_created_at: 2026-09-06T23:38:47Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:38:47Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:04:08Z
---

# Multi-objective optimization — বহু-উদ্দেশ্যমূলক অপ্টিমাইজেশন

**বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন** (এছাড়াও **বহু-মানদণ্ড প্রোগ্রামিং**, ইং. *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — এটি গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনের একটি শাখা, যা দুটি বা তার বেশি লক্ষ্য ফাংশন (মানদণ্ড) একসাথে অপ্টিমাইজ করার সমস্যা অধ্যয়ন করে, যেগুলি সাধারণত পরস্পরের সাথে সংঘাতপূর্ণ হয়<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>। আনুষ্ঠানিকভাবে সমস্যাটি গ্রহণযোগ্য সমাধানের সেটে ভেক্টর লক্ষ্য ফাংশনের ন্যূনতমকরণ হিসেবে লেখা হয়।

## সংজ্ঞা এবং পরিভাষা

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশনের সমস্যা সাধারণ আকারে নিম্নরূপে লেখা হয়: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ যেখানে $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — অ-খালি গ্রহণযোগ্য সমাধানের সেট, এবং $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — লক্ষ্য ফাংশনসমূহ ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>। ভেক্টর $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$-কে লক্ষ্য ভেক্টর বলা হয়।

স্কেলার অপ্টিমাইজেশনের বিপরীতে, বহু-মানদণ্ড প্রণয়নে সাধারণত কোনো একক সমাধান থাকে না যা সব মানদণ্ডের মান একসাথে উন্নত করে। তাই অপ্টিমামের ক্লাসিক ধারণাটি পারেতো সর্বোত্তমতার ধারণা ব্যবহার করে সাধারণীকৃত করা হয়<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>।

- **পারেতো সমাধান** (পারেতো-সর্বোত্তম বা কার্যকর সমাধান): গ্রহণযোগ্য সমাধান $x^{\ast} \in S$, যার জন্য অন্য কোনো সমাধান $x \in S$ বিদ্যমান নেই এমন যে $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ সকল $i = 1,\ldots,k$-এর জন্য, এবং একই সাথে $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ অন্তত একটি সূচক $j$-এর জন্য<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>। অন্যভাবে বলতে গেলে, একটি সমাধান পারেতো-সর্বোত্তম যদি অন্তত একটি অন্য মানদণ্ড খারাপ না করে কোনো মানদণ্ডের মান উন্নত করা সম্ভব না হয়।
- **পারেতো ফ্রন্ট** (বা পারেতো সেট): পারেতো-সর্বোত্তম সমাধানের সাথে সংশ্লিষ্ট সকল লক্ষ্য ভেক্টরের সমষ্টি।
- **দুর্বলভাবে পারেতো-সর্বোত্তম সমাধান**: সমাধান $x^{\ast} \in S$, যার জন্য অন্য কোনো সমাধান $x \in S$ বিদ্যমান নেই এমন যে $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ সকল $i$-এর জন্য।

## মূল বৈশিষ্ট্য এবং উপপাদ্যসমূহ

- **ভারযুক্ত যোগফলের উপপাদ্য**: উত্তল সমস্যায় (যেখানে সকল ফাংশন $f_{i}(x)$ এবং সেট $S$ উত্তল) যেকোনো পারেতো-সর্বোত্তম সমাধান $x^{\ast}$ হলো কিছু অ-ঋণাত্মক ওজনের সমষ্টি $w_{i} \geq 0$-এর জন্য মানদণ্ডের ভারযুক্ত যোগফল $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$-এর স্কেলার ন্যূনতমকরণ সমস্যার সমাধান। তবে অ-উত্তল সমস্যায় এই পদ্ধতি পারেতো ফ্রন্টের কিছু অংশ খুঁজে নাও পেতে পারে<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>।

<!-- -->

- **কারুশ-কুন-টাকার (KKT) সর্বোত্তমতার শর্তসমূহ**: মসৃণ সমস্যার জন্য সর্বোত্তমতার প্রয়োজনীয় শর্তগুলি বহু-মানদণ্ড ক্ষেত্রে সাধারণীকৃত হয়। পারেতো-সর্বোত্তম বিন্দুতে অ-শূন্য অ-ঋণাত্মক গুণক (ওজন)-এর একটি সমষ্টি বিদ্যমান থাকে, যার জন্য লক্ষ্য ফাংশন এবং সক্রিয় সীমাবদ্ধতার গ্রেডিয়েন্টগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-miettinen-book-7)</sup>।

<!-- -->

- **সমাধান সেটের বৈশিষ্ট্যসমূহ**: পারেতো ফ্রন্টে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ গুণগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এর সীমানা **আদর্শ বিন্দু** (সকল মানদণ্ডের উপাদান-ভিত্তিক ন্যূনতম দিয়ে গঠিত) এবং **নাদির বিন্দু** (ফ্রন্টে উপাদান-ভিত্তিক সর্বোচ্চ দিয়ে গঠিত) দ্বারা সীমাবদ্ধ<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-miettinen-book-7)</sup>।

## উদাহরণসমূহ

- **রৈখিক সমস্যা**: $f_{1}(x) = - x_{1}$ এবং $f_{2}(x) = - x_{2}$ ন্যূনতম করুন $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$ সীমাবদ্ধতার অধীনে। এখানে একটি মানদণ্ড উন্নত করা (উদাহরণস্বরূপ, $x_{1}$ বৃদ্ধি করা) অনিবার্যভাবে অন্যটির অবনতি ঘটায় ($x_{2}$ হ্রাস)। পারেতো-সর্বোত্তম সমাধানের সেট হলো সরলরেখার একটি রেখাংশ $x_{1} + x_{2} = 1$।
- **অ-উত্তল সমস্যা**: $f_{1}(x) = x^{2}$ এবং $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ রেখাংশ $\lbrack 0,2\rbrack$-এ ন্যূনতম করুন। পারেতো ফ্রন্ট অ-উত্তল। ধনাত্মক ওজন সহ ভারযুক্ত যোগফলের পদ্ধতি এই রেখাংশের ভেতরের সমাধানগুলি (উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু $x = 1$-এ) খুঁজে পাবে না, কারণ মানদণ্ডের রৈখিক সমন্বয় শুধুমাত্র চরম বিন্দু $x = 0$ বা $x = 2$-এ ন্যূনতম মান অর্জন করবে<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>।

## সম্পর্কিত ধারণা এবং প্রয়োগসমূহ

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন বহু-মানদণ্ড সিদ্ধান্ত গ্রহণের (MCDM) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর পছন্দ বিবেচনা করে সেরা বিকল্প নির্বাচন অধ্যয়ন করে। বহু-মানদণ্ড সমস্যাকে স্কেলার সমস্যায় রূপান্তরের (স্কেলারাইজেশন) মূল পদ্ধতিগুলির মধ্যে রয়েছে:

- **ভারযুক্ত যোগফলের পদ্ধতি**।
- **$\varepsilon$-সীমাবদ্ধতার পদ্ধতি**: একটি মানদণ্ড অপ্টিমাইজ করা হয়, এবং বাকিগুলি $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$ আকারের সীমাবদ্ধতায় রূপান্তরিত হয়। এই পদ্ধতি ফ্রন্টের অ-উত্তল অংশে সমাধান খুঁজে পেতে সক্ষম<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>।

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন প্রকৌশল ডিজাইন, অর্থনীতি (উদাহরণস্বরূপ, পোর্টফোলিও অপ্টিমাইজেশন), ব্যবস্থাপনা এবং পরিবেশবিদ্যায় ব্যাপকভাবে প্রয়োগ পায়।

## আরও দেখুন

- পারেতো সর্বোত্তমতা
- ভেক্টর অপ্টিমাইজেশন
- সিদ্ধান্ত তত্ত্ব
- সিদ্ধান্ত সহায়তা ব্যবস্থা
- অপারেশন রিসার্চ

## তথ্যসূত্র

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[১]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[২]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[৩]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[৪]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[৫]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81-%E0%A6%89%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A6%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%87%E0%A6%9C%E0%A7%87%E0%A6%B6%E0%A6%A8#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[৬]</a></span>