--- title: "Multi-objective optimization — אופטימיזציה רב-קריטריונית" source: "https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Multi-objective_optimization_—_אופטימיזציה_רב-קריטריונית" language: "he" categories: - "Category:Decision theory" - "Category:Hebrew" - "Category:Operations research" revision_id: 4702 wiki_created_at: 2026-09-06T23:38:43Z wiki_modified_at: 2026-09-06T23:38:43Z downloaded_at: 2026-09-07T23:04:06Z --- # Multi-objective optimization — אופטימיזציה רב-קריטריונית **אופטימיזציה רב-קריטריונית** (נקראת גם **תכנות רב-קריטריוני**, באנגלית: *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — היא ענף של אופטימיזציה מתמטית העוסק בבעיות של אופטימיזציה בו-זמנית לפי שתי פונקציות מטרה (קריטריונים) או יותר, אשר בדרך כלל מתנגשות זו בזו^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-trifonov-matlab-2)}. באופן פורמלי, הבעיה נוסחת כמינימיזציה של פונקציית מטרה וקטורית על קבוצת הפתרונות האפשריים. ## הגדרה ומינוח בעיית האופטימיזציה הרב-קריטריונית בצורתה הכללית נכתבת באופן הבא: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ כאשר $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — קבוצה לא ריקה של פתרונות אפשריים, ו-$f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — פונקציות המטרה ($k \geq 2$)^{[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)}. הווקטור $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ נקרא וקטור המטרה. בניגוד לאופטימיזציה סקלרית, בניסוח הרב-קריטריוני בדרך כלל אין פתרון יחיד המשפר את ערכי כל הקריטריונים בו-זמנית. לכן, המושג הקלאסי של אופטימום מוכלל באמצעות מושג האופטימליות לפי פארטו^{[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-ehrgott-pareto-4)}. - **פתרון פארטו** (פתרון אופטימלי לפי פארטו, או פתרון יעיל): פתרון אפשרי $x^{\ast} \in S$ שלא קיים פתרון אחר $x \in S$ כך ש-$f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ לכל $i = 1,\ldots,k$, ובנוסף $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ לפחות למדד אחד $j$^{[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-ehrgott-pareto-4)}. במילים אחרות, פתרון הוא אופטימלי לפי פארטו אם אי אפשר לשפר ערך של קריטריון כלשהו מבלי להרע לפחות קריטריון אחד אחר. - **חזית פארטו** (או קבוצת פארטו): קבוצת כל וקטורי המטרה המתאימים לפתרונות האופטימליים לפי פארטו. - **פתרון אופטימלי חלש לפי פארטו**: פתרון $x^{\ast} \in S$ שלא קיים פתרון אחר $x \in S$ כך ש-$f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ לכל $i$. ## תכונות מרכזיות ומשפטים - **משפט הסכום המשוקלל**: בבעיות קמורות (שבהן כל הפונקציות $f_{i}(x)$ והקבוצה $S$ קמורות), כל פתרון אופטימלי לפי פארטו $x^{\ast}$ הוא פתרון של בעיית מינימיזציה סקלרית של הסכום המשוקלל של הקריטריונים $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ עבור קבוצה כלשהי של משקלות אי-שליליות $w_{i} \geq 0$. עם זאת, בבעיות לא-קמורות שיטה זו עשויה שלא למצוא חלקים מסוימים של חזית פארטו^{[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-marler-arora-2010-6)}. - **תנאי האופטימליות של Karush–Kuhn–Tucker (KKT)**: תנאים הכרחיים לאופטימליות בבעיות חלקות מוכללים לפתרון הרב-קריטריוני. בנקודת אופטימום פארטו קיימת קבוצה לא-אפסית של מכפילים (משקלות) אי-שליליים, שעבורם גרדיאנטי פונקציות המטרה והאילוצים הפעילים תלויים לינארית^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-miettinen-book-7)}. - **תכונות קבוצת הפתרונות**: לחזית פארטו ישנן מספר מאפיינים איכותיים חשובים. גבולה תחום על ידי **הנקודה האידיאלית** (המורכבת מהמינימומים האיבריים של כל הקריטריונים) ו**נקודת הנאדיר** (מהמקסימומים האיבריים על החזית)^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-miettinen-book-7)}. ## דוגמאות - **בעיה לינארית**: מינימיזציה של $f_{1}(x) = - x_{1}$ ו-$f_{2}(x) = - x_{2}$ תחת האילוץ $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. כאן שיפור קריטריון אחד (לדוגמה, הגדלת $x_{1}$) מוביל בהכרח להרעה בקריטריון האחר (הקטנת $x_{2}$). קבוצת הפתרונות האופטימליים לפי פארטו היא קטע הישר $x_{1} + x_{2} = 1$. - **בעיה לא-קמורה**: מינימיזציה של $f_{1}(x) = x^{2}$ ו-$f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ על הקטע $\lbrack 0,2\rbrack$. חזית פארטו היא לא-קמורה. שיטת הסכומים המשוקללים עם משקלות חיוביות לא תוכל למצוא פתרונות בתוך קטע זה (לדוגמה, בנקודה $x = 1$), מכיוון שהצירוף הלינארי של הקריטריונים יגיע למינימום רק בנקודות הקצה $x = 0$ או $x = 2$^{[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-ehrgott-book-8)}. ## מושגים קשורים ויישומים אופטימיזציה רב-קריטריונית קשורה קשר הדוק לקבלת החלטות רב-קריטריונית (MCDM), העוסקת בבחירת החלופה הטובה ביותר תוך התחשבות בהעדפות מקבל ההחלטות. השיטות העיקריות להמרת בעיה רב-קריטריונית לסקלרית (סקלריזציה) כוללות: - **שיטת הסכום המשוקלל**. - **שיטת אילוצי $\varepsilon$**: מבוצעת אופטימיזציה של קריטריון אחד, בעוד שהשאר הופכים לאילוצים מהצורה $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. שיטה זו מסוגלת למצוא פתרונות בחלקים לא-קמורים של החזית^{[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_note-mavrotas-2009-9)}. אופטימיזציה רב-קריטריונית נמצאת בשימוש נרחב בתכנון הנדסי, בכלכלה (לדוגמה, אופטימיזציה של תיק השקעות), בניהול ובאקולוגיה. ## ראו גם - אופטימליות לפי פארטו - אופטימיזציה וקטורית - תורת קבלת ההחלטות - מערכות תמיכה בקבלת החלטות - חקר ביצועים ## הערות 1. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. [1] 2. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. [2] 3. ↑ ^{[3.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)} ^{[3.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)} "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. [3] 4. ↑ ^{[4.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)} ^{[4.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)} Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. [4] 5. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа. 6. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. [5] 7. ↑ ^{[7.0](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-miettinen-book_7-0)} ^{[7.1](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-miettinen-book_7-1)} Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers. 8. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag. 9. [↑](https://systems-analysis.info/int/Multi-objective_optimization_%E2%80%94_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. [6]