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title: "Modelos de Rede"
source: "https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Modelos_de_Rede"
language: "pt"
categories:
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Portuguese"
revision_id: 4599
wiki_created_at: 2026-09-06T23:37:18Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:37:18Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:03:28Z
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# Modelos de Rede

**Modelos de rede** (em pesquisa operacional; em inglês: *Network models*) são uma classe de modelos matemáticos que representam um problema na forma de um grafo (rede), onde os vértices (nós) denotam objetos ou estados, e as arestas (arcos) representam as conexões ou processos entre eles<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-en-wiki-flow-network-1)</sup>. No contexto da otimização, uma rede é frequentemente entendida como um grafo orientado, que na análise de operações é diretamente chamado de "rede"; os vértices dessa rede são chamados de nós, e as arestas são chamadas de arcos<sup>[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-belgut-lec-2)</sup>.

Os modelos de rede são uma ferramenta poderosa para a análise e otimização de sistemas complexos em áreas como logística, telecomunicações, gerenciamento de projetos e finanças. Sua força reside no alto nível de abstração: um nó pode representar uma cidade, um roteador de computador ou uma etapa de um projeto, enquanto um arco pode representar uma estrada, um canal de comunicação ou uma operação tecnológica.

## Definição e Terminologia

A base para os modelos de rede é a teoria dos grafos. Os conceitos-chave são:

- **Rede de fluxo** (em inglês: *flow network*): um grafo orientado no qual cada aresta possui uma **capacidade** (*capacity*) e um **fluxo** (*flow*). No grafo, dois vértices especiais são destacados: a **fonte** (*source*), de onde o fluxo se origina, e o **sorvedouro** (*sink*), para onde ele flui<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-en-wiki-flow-network-1)</sup>.
- **Lei da conservação do fluxo**: Para qualquer vértice que não seja a fonte ou o sorvedouro, o fluxo total de entrada deve ser igual ao fluxo total de saída. Esta condição é um análogo discreto das leis físicas de conservação<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-transport-net-3)</sup>.
- **Planejamento de rede**: Um modelo que representa um projeto como um conjunto de operações (arcos) e eventos (nós) interligados. Tais redes são grafos acíclicos orientados, o que reflete a ordem de execução dos trabalhos<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-cpm-pert-4)</sup>.

## Propriedades e Teoremas Fundamentais

Os modelos de rede possuem várias propriedades especiais que permitem a aplicação de algoritmos altamente eficientes para sua resolução.

- **Integralidade das soluções**: Muitos problemas de otimização de rede (por exemplo, fluxo máximo ou caminho mais curto) possuem a propriedade de unimodularidade total da matriz de restrições. Graças a isso, se os parâmetros do problema (capacidades, comprimentos) forem inteiros, a solução ótima encontrada por métodos de programação linear também será inteira, sem a necessidade de introduzir restrições adicionais<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-mit-amp-ch8-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)</sup>.
- **Teorema do fluxo máximo e corte mínimo**: O resultado central da teoria dos fluxos. Afirma que o valor máximo do fluxo da fonte para o sorvedouro é igual à capacidade mínima entre todos os cortes que separam a fonte e o sorvedouro. Este teorema estabelece um critério de otimalidade para o fluxo e é a base de muitos algoritmos<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-goldberg-tarjan-1990-7)</sup>.
- **Princípio da otimalidade para caminhos mais curtos**: Se um caminho do ponto A ao ponto C é o mais curto, então qualquer um de seus segmentos (por exemplo, do ponto intermediário B ao C) também é o caminho mais curto entre os vértices correspondentes. Essa propriedade, que está na base da programação dinâmica, garante a correção de algoritmos como o de Dijkstra<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-shortest-path-8)</sup>.
- **Propriedades da árvore geradora mínima (AGM)**:
- **Propriedade do corte**: Para qualquer corte do grafo, a aresta com o peso mínimo que cruza o corte pertence a pelo menos uma AGM.
- **Propriedade do ciclo**: Em qualquer ciclo do grafo, a aresta com o peso máximo não pertence a nenhuma AGM.

A correção dos algoritmos "gulosos" de Prim e Kruskal baseia-se nessas propriedades<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-mst-9)</sup>.

## Principais Problemas de Otimização em Rede

- **Problema do caminho mais curto**: Encontrar um caminho de comprimento (peso) total mínimo entre dois nós especificados. Resolvido pelo algoritmo de Dijkstra (para pesos não negativos) ou pelo algoritmo de Bellman-Ford (para pesos arbitrários)<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-shortest-path-8)</sup>.
- **Problema do fluxo máximo**: Determinar o maior fluxo possível da fonte ao sorvedouro, dadas as capacidades dos arcos. O método clássico de resolução é o algoritmo de Ford-Fulkerson<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-max-flow-6)</sup>.
- **Problema da árvore geradora mínima**: Encontrar um subgrafo que conecte todos os vértices da rede e tenha o custo total mínimo das arestas.
- **Método do caminho crítico (CPM)**: Em modelos de planejamento de rede, determinar a sequência mais longa de tarefas que estabelece o tempo mínimo possível para a conclusão de todo o projeto. As tarefas neste caminho têm folga de tempo zero<sup>[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-cpm-10)</sup>.

## Exemplos

- **Caminho mais curto**: A busca pela rota ótima por um sistema de navegação entre dois pontos em um mapa da cidade, onde as cidades são nós e as estradas são arcos com pesos iguais à distância ou ao tempo de viagem.
- **Fluxo máximo**: A determinação da capacidade máxima de uma rede de dutos, onde as estações de bombeamento são os nós e os dutos são os arcos com capacidade limitada.
- **Árvore geradora mínima**: O projeto de uma rede de comunicação (por exemplo, a instalação de cabos de fibra óptica) para conectar várias cidades com o menor comprimento total de cabo.
- **Caminho crítico**: Em um projeto de construção de uma casa, onde as tarefas (fundações, construção de paredes, instalação do telhado) têm durações e dependências tecnológicas definidas, o caminho crítico determina o prazo mínimo para a conclusão da construção. Qualquer atraso em uma tarefa neste caminho resultará no atraso de todo o projeto<sup>[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_note-ru-wiki-cpm-10)</sup>.

## Ver também

- Pesquisa operacional
- Teoria dos grafos
- Problema de transporte
- Método do caminho crítico
- PERT

## Notas

1.  <span id="cite_note-en-wiki-flow-network-1">↑ <sup>[1.0](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-en-wiki-flow-network_1-0)</sup> <sup>[1.1](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-en-wiki-flow-network_1-1)</sup> "Flow network". *Wikipedia*. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Flow_network" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-belgut-lec-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-belgut-lec_2-0) "Tópico 10: Modelos de Rede". Manual de estudo. Gomel: BelGUT. <a href="https://elib.gsu.by/bitstream/123456789/4781/13/Тема10_Сетевые%20модели_net_lec.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-ru-wiki-transport-net-3">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-transport-net_3-0) "Rede de transporte". *Wikipédia*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Транспортная_сеть" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ru-wiki-cpm-pert-4">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-cpm-pert_4-0) "Planejamento de rede". *Wikipédia*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Сетевое_планирование" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-mit-amp-ch8-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-mit-amp-ch8_5-0) Bradley S. P., Hax A. C., Magnanti T. L. (1977). *Applied Mathematical Programming*. Addison-Wesley. Ch.8: Network Models. <a href="https://web.mit.edu/15.053/www/AMP-Chapter-08.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
6.  <span id="cite_note-ru-wiki-max-flow-6">↑ <sup>[6.0](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-0)</sup> <sup>[6.1](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-1)</sup> <sup>[6.2](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-max-flow_6-2)</sup> "Problema do fluxo máximo". *Wikipédia*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_максимальном_потоке" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>
7.  <span id="cite_note-goldberg-tarjan-1990-7">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-goldberg-tarjan-1990_7-0) Goldberg A. V., Tardos É., Tarjan R. E. (1990). "Network Flow Algorithms". In: *Paths, Flows, and VLSI-Layout*. Springer. <a href="https://www.cs.cornell.edu/~eva/Network.Flow.Algorithms.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[7]</a></span>
8.  <span id="cite_note-ru-wiki-shortest-path-8">↑ <sup>[8.0](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-shortest-path_8-0)</sup> <sup>[8.1](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-shortest-path_8-1)</sup> "Problema do caminho mais curto". *Wikipédia*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_кратчайшем_пути" class="external autonumber" rel="nofollow">[8]</a></span>
9.  <span id="cite_note-ru-wiki-mst-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-mst_9-0) "Árvore geradora mínima". *Wikipédia*.</span>
10. <span id="cite_note-ru-wiki-cpm-10">↑ <sup>[10.0](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-cpm_10-0)</sup> <sup>[10.1](https://systems-analysis.info/int/Modelos_de_Rede#cite_ref-ru-wiki-cpm_10-1)</sup> "Método do caminho crítico". *Wikipédia*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_критического_пути" class="external autonumber" rel="nofollow">[9]</a></span>