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title: "Minimax regret criterion (Savage criterion) — 萨维奇准则 (Savage's Criterion)"
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wiki_created_at: 2026-09-06T23:34:30Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:34:30Z
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# Minimax regret criterion (Savage criterion) — 萨维奇准则 (Savage's Criterion)

**萨维奇准则**（也称为**最小遗憾准则**）是在不确定性条件下进行决策的方法之一。它适用于各种结果的概率未知，且目标是最小化因做出非最优决策而导致的潜在损失的情况。

## 概述

在不确定性条件下，每种策略选择的后果都无法精确确定。为了评估可能的备选方案，可以使用多种准则，例如瓦尔德准则、赫维茨准则、拉普拉斯准则和萨维奇准则。萨维奇准则的目标不是实现最大利润，而是**最小化最大遗憾值**（与最佳可能结果相比的损失）。

**遗憾值**是一个量，反映了在特定结果下因未选择最优策略而错失的收益。

## 萨维奇准则的应用算法

- 构建支付矩阵：建立一个表格，其行对应可能的策略，列对应可能发生的事件结果。在行列交叉处记录特定策略和结果下的预期收益。
- 构建遗憾矩阵（风险矩阵）：对于每个结果（列），确定最大收益值。然后，为每个单元格计算遗憾值。
- 确定每个策略的最大遗憾值：在遗憾矩阵的每一行中，选择最大值（即该策略的最坏情况）。
- 选择最优策略：选择最大遗憾值最小的策略。

因此，萨维奇准则实现了最小化因错误决策可能导致的损失的原则。

## 数学表述

假设给定：

- $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — 可用策略（备选方案）的集合。
- $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — 可能的自然状态的集合。
- $u(s_{i},\theta_{j})$ — 选择策略 $s_{i}$ 且出现状态 $\theta_{j}$ 时的收益（效用）函数。通常表示为支付矩阵 $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$，其中 $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$。

萨维奇准则基于**遗憾**（regret）或**机会损失**的概念。在自然状态为 $\theta_{j}$ 时，策略 $s_{i}$ 的遗憾值 $r(s_{i},\theta_{j})$ 定义为，在该自然状态 $\theta_{j}$ 下可能获得的最大收益（即选择了对该状态最优的策略）与策略 $s_{i}$ 的实际收益之差。

萨维奇准则的应用算法：

1.  **计算遗憾矩阵（风险矩阵）：**
    **a) 找到每种自然状态（支付矩阵的每一列）的最大收益：**
    $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$
    这是在状态 $\theta_{j}$ 发生时可能得到的最佳结果。
    **b) 计算遗憾矩阵** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$ **的元素：**
    $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$
    元素 $r_{ij}$ 表示在状态 $\theta_{j}$ 下，策略 $s_{i}$ 的收益比可能的最大收益少多少。所有元素 $r_{ij} \geq 0$。

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1.  **找出每个策略的最大遗憾值：** 对于每个策略 $s_{i}$（遗憾矩阵 $R$ 的每一行），确定其在遗憾方面的最坏可能结果：
    $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$

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1.  **选择具有最小最大遗憾值的策略（最小最大遗憾原则）：** 选择能使已找出的最大遗憾值最小化的策略 $s_{\text{Savage}}^{\ast}$：
    $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$
    或者，代入 $r_{ij}$ 的表达式：
    $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$

使用萨维奇准则达到的最小最大遗憾值等于： $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$

因此，萨维奇准则旨在选择一个策略，以保证相对于每种自然状态下的最佳可能行动，其损失最小。

数学表述中的关键点：

- 遗憾值 $r_{ij}$ 的定义：这是核心概念。关键在于说明它是通过列 j 中的最佳结果与当前结果 a\_{ij} 的差值计算得出的。
- 遗憾矩阵 $R$：明确说明了其构建方法。
- 找到 $r_{i}^{\max}$：展示了在遗憾矩阵的每一行中寻找最大值的过程。
- 最小最大化原则：通过 $\arg\min$ 和 $\max$ 对遗憾值进行策略选择的原则得到了清晰的阐述。
- 使用的符号：为博弈论和决策论中的标准符号（S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min）。

## 优缺点

**优点：**

- 注重风险最小化。
- 在高度不确定性条件下尤其有效。

**缺点：**

- 忽略了预期收益，仅关注可能的损失。
- 可能导致决策过于保守。

## 决策准则

- 赫维茨准则
- 拉普拉斯准则
- 瓦尔德准则