---
title: "Megengedett megoldások tartománya"
source: "https://systems-analysis.info/int/Megengedett_megold%C3%A1sok_tartom%C3%A1nya"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Megengedett_megoldások_tartománya"
language: "hu"
categories:
  - "Category:Hungarian"
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Terminology"
  - "Category:Terms"
revision_id: 4241
wiki_created_at: 2026-09-06T23:32:31Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:32:31Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:01:36Z
---

# Megengedett megoldások tartománya

**A megengedett megoldások tartománya (MMT)** (más néven **a megengedett megoldások halmaza**, angolul *Feasible region, feasible set*) — az operációkutatásban, az optimalizálásban és a matematikai modellezésben ez azon összes lehetséges megoldás (változóértékek halmazainak) összessége, amelyek **minden**, a feladatra rótt feltételt kielégítenek.

Az MMT azt a részterét képezi a megoldástérnek, amelyen belül az optimális megoldást keressük. Minden, e tartományon kívül eső megoldás nem megengedett.

## Meghatározás és kialakítás

A megengedett megoldások tartománya a feladat egyes feltételei által meghatározott halmazok metszeteként alakul ki. A feltételek a következő formákban jelenhetnek meg:

- **Egyenlőtlenségek:** Felső vagy alsó határokat állapítanak meg a változók értékeire vagy azok kombinációira (például „az A erőforrás felhasználása nem haladhatja meg a 100 egységet", „a legyártott termékek mennyisége legalább 50 darab legyen").
- **Egyenlőségek:** A feltétel pontos teljesítését követelik meg (például „az összes szállított mennyiség egyenlő 1000 tonnával", „a bejövő és kimenő folyamatok egyenlege nulla").
- **Változókra vonatkozó előjelfeltételek:** A változóknak gyakran nemnegatívaknak, egészeknek kell lenniük, vagy adott diszkrét halmazhoz kell tartozniuk.

Egy pont (vagy változóértékek vektora) pontosan akkor tartozik az MMT-hez, ha egyszerre eleget tesz ezen feltételek mindegyikének.

## Geometriai értelmezés

Az MMT-nek szemléletes geometriai értelmezése van, különösen kevés változót tartalmazó feladatok esetén:

- **Kétdimenziós térben (2 változó):** Minden lineáris egyenlőtlenség-feltétel egy félsíkot határoz meg. Az MMT ezen félsíkok metszete — egy konvex sokszög (amely lehet nem korlátos vagy üres is).
- **Háromdimenziós térben (3 változó):** Minden lineáris egyenlőtlenség-feltétel egy félteret határoz meg. Az MMT ezen félterek metszete — egy konvex poliéder.
- **Többdimenziós térben:** A lineáris feltételekkel meghatározott MMT konvex poliéder (politóp).

Nemlineáris feltételek esetén az MMT bonyolultabb alakú lehet, és nem feltétlenül konvex.

## Szerepe az optimalizálásban

A megengedett megoldások tartománya alapvető szerepet játszik az optimalizálásban:

1\. **A keresési tér meghatározása:** A feladat optimális megoldása (ha létezik) **mindig** az MMT belsejében vagy határán található. Az optimalizáló algoritmusok a célfüggvény szélsőértékét éppen ebben a tartományban keresik. 2. **A megoldások létezésének vizsgálata:** Ha az MMT üres halmaz (azaz a feltételek ellentmondanak egymásnak), akkor a feladatnak nincs megengedett megoldása, és következésképpen optimális megoldása sem. 3. **Hatás az optimális megoldásra:** Az MMT alakja és mérete közvetlenül befolyásolja a célfüggvény szélsőértékének elérhetőségét és e szélsőérték nagyságát.

## Az MMT tulajdonságai (lineáris programozási feladatokban)

Lineáris programozási (LP) feladatokban, ahol minden feltétel és a célfüggvény is lineáris, az MMT fontos tulajdonságokkal rendelkezik:

- **Konvexitás:** Ha két pont az MMT-hez tartozik, akkor az e pontokat összekötő teljes szakasz szintén az MMT-hez tartozik. Ez a tulajdonság garantálja, hogy az optimális megoldás (ha létezik és egyértelmű) az MMT poliéderének egyik csúcsán található.
- **Zártság:** Az MMT tartalmazza saját határait (a nem szigorú ≤, ≥ egyenlőtlenségek és az egyenlőségek miatt).

Az MMT lehet:

- **Korlátos:** Véges méretű.
- **Nem korlátos:** Egy vagy több irányban a végtelenbe terjed.
- **Üres:** Egyetlen pontot sem tartalmaz.

## Irodalom

- *Ventcel, J. Sz.* Operációkutatás: feladatok, elvek, módszertan. — Moszkva: Nauka, 1988.
- *Ackoff, R., Sasieni, M.* Az operációkutatás alapjai. — Moszkva: Mir, 1971.
- *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

## Lásd még

- Operációkutatás
- Optimalizálás
- Matematikai modell
- Feltételek
- Megengedett megoldás
- Optimális megoldás
- Célfüggvény
- Lineáris programozás
- Konvex halmaz