---
title: "Meerkriteria-optimalisatie"
source: "https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Meerkriteria-optimalisatie"
language: "nl"
categories:
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Dutch"
  - "Category:Operations research"
revision_id: 4240
wiki_created_at: 2026-09-06T23:32:30Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:32:30Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:01:35Z
---

# Meerkriteria-optimalisatie

**Meerkriteria-optimalisatie** (ook wel **meerkriteria-programmering**, Engels: *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — is een deelgebied van de wiskundige optimalisatie dat vraagstukken bestudeert waarbij tegelijkertijd wordt geoptimaliseerd naar twee of meer doelfuncties (criteria) die doorgaans met elkaar in conflict zijn<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Formeel wordt het probleem genoteerd als de minimalisatie van een vectoriële doelfunctie op de verzameling van toelaatbare oplossingen.

## Definitie en terminologie

Het meerkriteria-optimalisatieprobleem wordt in algemene vorm als volgt genoteerd: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ waar $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — een niet-lege verzameling van toelaatbare oplossingen is, en $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — de doelfuncties zijn ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. De vector $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ wordt de doelvector genoemd.

In tegenstelling tot scalaire optimalisatie bestaat er bij een meerkriteria-formulering doorgaans geen unieke oplossing die de waarden van alle criteria tegelijkertijd verbetert. Daarom wordt het klassieke optimaliteitsbegrip gegeneraliseerd met behulp van het concept van Pareto-optimaliteit<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Pareto-oplossing** (Pareto-optimale of efficiënte oplossing): een toelaatbare oplossing $x^{\ast} \in S$ waarvoor geen andere oplossing $x \in S$ bestaat zodanig dat $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ voor alle $i = 1,\ldots,k$, en waarbij $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ voor ten minste één index $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. Met andere woorden: een oplossing is Pareto-optimaal als geen enkel criterium kan worden verbeterd zonder ten minste één ander criterium te verslechteren.
- **Pareto-front** (of Pareto-verzameling): de verzameling van alle doelvectoren die overeenkomen met Pareto-optimale oplossingen.
- **Zwak Pareto-optimale oplossing**: een oplossing $x^{\ast} \in S$ waarvoor geen andere oplossing $x \in S$ bestaat zodanig dat $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ voor alle $i$.

## Belangrijkste eigenschappen en stellingen

- **Stelling over de gewogen som**: In convexe problemen (waarbij alle functies $f_{i}(x)$ en de verzameling $S$ convex zijn) is elke Pareto-optimale oplossing $x^{\ast}$ een oplossing van het scalaire minimalisatieprobleem van de gewogen som van de criteria $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ voor een bepaalde verzameling niet-negatieve gewichten $w_{i} \geq 0$. Bij niet-convexe problemen kan deze methode echter bepaalde delen van het Pareto-front niet vinden<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

<!-- -->

- **Karush-Kuhn-Tucker (KKT) optimaliteitsvoorwaarden**: De noodzakelijke optimaliteitsvoorwaarden voor gladde problemen worden uitgebreid naar het meerkriteria-geval. In een Pareto-optimaal punt bestaat er een niet-nulverzameling van niet-negatieve multiplicatoren (gewichten) waarvoor de gradiënten van de doelfuncties en de actieve beperkingen lineair afhankelijk zijn<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

<!-- -->

- **Eigenschappen van de oplossingsverzameling**: Het Pareto-front bezit een aantal belangrijke kwalitatieve kenmerken. De grens ervan wordt bepaald door het **ideale punt** (samengesteld uit de elementgewijze minima van alle criteria) en het **nadirpunt** (samengesteld uit de elementgewijze maxima op het front)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Voorbeelden

- **Lineair probleem**: Minimaliseer $f_{1}(x) = - x_{1}$ en $f_{2}(x) = - x_{2}$ onder de beperking $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Hier leidt verbetering van het ene criterium (bijvoorbeeld verhoging van $x_{1}$) onvermijdelijk tot verslechtering van het andere (verlaging van $x_{2}$). De verzameling van Pareto-optimale oplossingen is een lijnstuk $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Niet-convex probleem**: Minimaliseer $f_{1}(x) = x^{2}$ en $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ op het interval $\lbrack 0,2\rbrack$. Het Pareto-front is niet-convex. De methode van gewogen sommen met positieve gewichten kan geen oplossingen vinden in het binnenste van dit interval (bijvoorbeeld in het punt $x = 1$), omdat de lineaire combinatie van de criteria alleen in de eindpunten $x = 0$ of $x = 2$ een minimum bereikt<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Verwante begrippen en toepassingen

Meerkriteria-optimalisatie is nauw verwant aan meerkriteria-besluitvorming (MCDM), dat de keuze van het beste alternatief bestudeert rekening houdend met de voorkeuren van de beslisser. De belangrijkste methoden om een meerkriteria-probleem om te zetten in een scalair probleem (scalarisatie) zijn:

- **Methode van gewogen sommen**.
- **Methode van $\varepsilon$-beperkingen**: Eén criterium wordt geoptimaliseerd, terwijl de overige worden omgezet in beperkingen van de vorm $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Deze methode is in staat oplossingen te vinden op niet-convexe delen van het front<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

Meerkriteria-optimalisatie vindt brede toepassing in technisch ontwerp, economie (bijvoorbeeld portefeuilleoptimalisatie), management en milieukunde.

## Zie ook

- Pareto-optimaliteit
- Vectoroptimalisatie
- Beslissingstheorie
- Beslissingsondersteunende systemen
- Operationeel onderzoek

## Noten

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/Meerkriteria-optimalisatie#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>