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title: "Maximin criterion (Wald criterion) — 瓦尔德准则"
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article: "Maximin_criterion_(Wald_criterion)_—_瓦尔德准则"
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revision_id: 4237
wiki_created_at: 2026-09-06T23:32:28Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:32:28Z
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# Maximin criterion (Wald criterion) — 瓦尔德准则

**瓦尔德准则**（Wald's criterion）是在不确定性条件下做出决策的主要方法之一。它基于极端悲观原则，旨在选择在最坏可能情况下能确保最佳结果的策略。

## 准则的本质

该准则假定决策者关注每种策略最不利的结果。对于每个备选方案，确定其最坏的可能结果。在所有策略中，选择那个“最坏结果”是所有策略中最优的策略。

换句话说，瓦尔德准则旨在最小化最大损失，并为不利条件提供最大程度的保障。

## 准则的应用

应用过程包括以下步骤：

1.  确定每种策略的最坏可能结果。
2.  比较所有策略的最坏结果。
3.  选择具有“最坏结果中的最优值”的策略。

这种方法适用于极度谨慎、力求最小化风险的决策者，而不考虑各种结果发生的概率。

## 数学公式

设给定：

- $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — 决策者可选择的策略（备选方案）集合。
- $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — 独立于决策者选择的自然状态（外部条件、情景）集合。
- $u(s_{i},\theta_{j})$ — 收益（效用）函数，表示在选择策略 $s_{i} \in S$ 且自然状态为 $\theta_{j} \in \Theta$ 时的结果数值评估。通常表示为支付矩阵 $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$，其中 $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$。

瓦尔德准则（或称为“最大最小准则”）规定了以下操作顺序：

1.  **为每种策略寻找最小收益：** 对于每种策略 $s_{i}$，确定其在所有可能的自然状态下的最坏可能结果（最小收益）：
    $u_{i}^{\min} = \min\limits_{j = 1,\ldots,n}u(s_{i},\theta_{j}) = \min\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)$

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1.  **选择具有最大最小收益的策略：** 选择能确保在已找到的最小收益中取得最大值的策略 $s_{\text{Wald}}^{\ast}$：
    $s_{\text{Wald}}^{\ast} = \arg\max\limits_{i = 1,\ldots,m}(u_{i}^{\min}) = \arg\max\limits_{s_{i} \in S}\left( \min\limits_{\theta_{j} \in \Theta}u(s_{i},\theta_{j}) \right)$

使用瓦尔德准则时，保证（最小）的收益水平等于： $V_{\text{Wald}} = \max\limits_{i = 1,\ldots,m}(u_{i}^{\min}) = \max\limits_{s_{i} \in S}\left( \min\limits_{\theta_{j} \in \Theta}u(s_{i},\theta_{j}) \right)$

因此，瓦尔德准则实现了**最大最小化（maximin）**原则——即最大化最小收益。它基于一种悲观的观点，即假设无论做出何种决策，自然界都将以对决策者最不利的方式回应。

#### 关于损失函数的说明

如果使用需要最小化的损失函数 $L(s_{i},\theta_{j})$ 来代替收益函数 $u(s_{i},\theta_{j})$，那么瓦尔德准则就转变为**最小最大化损失（minimax loss）**准则：

1.  对于每种策略 $s_{i}$，找到其最大损失值：$L_{i}^{\max} = \max\limits_{\theta \in \Theta}L(s_{i},\theta)$
2.  选择能使这些最大损失最小化的策略：$s_{\text{Wald}}^{\ast} = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta \in \Theta}L(s_{i},\theta) \right)$

## 优点与缺点

优点：

- 方法简单明了。
- 在完全不确定的条件下，能确保决策的高度安全性。

缺点：

- 过度悲观：为了最小化损失而忽略了可能的高收益。
- 可能导致选择过于保守的策略。