---
title: "Mathematical modeling — การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์"
source: "https://systems-analysis.info/int/Mathematical_modeling_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Mathematical_modeling_—_การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์"
language: "th"
categories:
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Thai"
revision_id: 4204
wiki_created_at: 2026-09-06T23:32:00Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:32:00Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:01:25Z
---

# Mathematical modeling — การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

**การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์** คือวิธีการวิจัยที่วัตถุ กระบวนการ หรือปรากฏการณ์จริงถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งช่วยให้สามารถวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบโดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์

## สาระสำคัญของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย:

- การกำหนดรูปแบบลักษณะสำคัญของวัตถุที่ศึกษา
- การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์
- การศึกษาแบบจำลองด้วยวิธีเชิงวิเคราะห์ เชิงตัวเลข หรือเชิงจำลอง
- การแปลความหมายของผลลัพธ์เพื่อนำไปใช้กับระบบจริง

แบบจำลองนั้นเป็นการลดความซับซ้อนของความเป็นจริงเสมอ โดยสะท้อนเฉพาะด้านที่มีความสำคัญต่อเป้าหมายของการวิจัยหรือการออกแบบเท่านั้น

## เป้าหมายของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อ:

- อธิบายโครงสร้าง คุณสมบัติ และการทำงานของระบบ
- อธิบายปรากฏการณ์ที่สังเกตพบผ่านการค้นหารูปแบบและกฎเกณฑ์
- ทำนายพฤติกรรมในอนาคตของระบบภายใต้อิทธิพลที่กำหนด
- ปรับปรุงกระบวนการและระบบควบคุมให้เหมาะที่สุด
- ดำเนินการทดลองเสมือนจริงที่ไม่สามารถหรือไม่พึงประสงค์ให้เกิดขึ้นในความเป็นจริง

## การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

- ตามวิธีการอธิบาย: แบบจำลองแบบกำหนดแน่นอน (Deterministic) และแบบสุ่ม (Stochastic)
- ตามลักษณะของเวลา: แบบจำลองสถิต (Static) และพลวัต (Dynamic)
- ตามลักษณะของตัวแปร: แบบจำลองไม่ต่อเนื่อง (Discrete) และต่อเนื่อง (Continuous)
- ตามระดับความละเอียด: แบบมหภาค (Macroscopic) แบบจุลภาค (Microscopic) และแบบกลาง (Mesoscopic)
- ตามเครื่องมือที่ใช้: แบบเชิงวิเคราะห์ เชิงตัวเลข และเชิงจำลอง
- ตามวัตถุประสงค์: แบบพรรณนา แบบพยากรณ์ แบบปรับให้เหมาะสม และแบบจำลอง
- ตามโครงสร้าง: แบบเชิงเส้น (Linear) และไม่เชิงเส้น (Nonlinear)
- ตามแนวทางการสร้าง: แบบปรากฏการณ์วิทยา (Phenomenological/Empirical) และแบบกลไก (Mechanistic/Theoretical)

## ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

โดยทั่วไป ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีดังนี้:

1.  **การกำหนดปัญหา:**
    - กำหนดเป้าหมายของการสร้างแบบจำลอง (เราต้องการทราบหรือทำอะไร?)
    - อธิบายวัตถุหรือกระบวนการและขอบเขตของมัน
    - ระบุปัจจัยหลักและลักษณะสำคัญที่ต้องคำนึงถึง
2.  **การสร้าง (หรือเลือก) แบบจำลอง:**
    - การกำหนดรูปแบบ: การแปลงคำอธิบายของวัตถุและความสัมพันธ์เป็นภาษาคณิตศาสตร์ (สมการ ฟังก์ชัน กฎเชิงตรรกะ อัลกอริทึม เป็นต้น)
    - การนำข้อสมมติและการลดความซับซ้อนมาใช้เพื่อเน้นสิ่งสำคัญ
    - การกำหนดพารามิเตอร์ของแบบจำลองและความสัมพันธ์ระหว่างกัน
3.  **การศึกษาแบบจำลอง:**
    - การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (เชิงวิเคราะห์ เชิงตัวเลข หรือเชิงจำลอง)
    - การดำเนินการทดลองเชิงคำนวณเพื่อศึกษาพฤติกรรมของแบบจำลองภายใต้เงื่อนไขต่างๆ
4.  **การตรวจสอบความเพียงพอ (การตรวจสอบความถูกต้อง/Validation) ของแบบจำลอง:**
    - การเปรียบเทียบผลการสร้างแบบจำลองกับข้อมูลจริง (จากการทดลองหรือการสังเกต) หรือข้อเท็จจริงที่ทราบแล้ว
    - การประเมินว่าแบบจำลองสะท้อนความเป็นจริงได้ดีเพียงใดสำหรับเป้าหมายที่ตั้งไว้
5.  **การแปลความหมายและการนำผลลัพธ์ไปใช้:**
    - การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้จากการสร้างแบบจำลอง
    - การแปลงผลลัพธ์กลับสู่ภาษาของปัญหาต้นฉบับ
    - การกำหนดข้อสรุป การพยากรณ์ การพัฒนาคำแนะนำ หรือการตัดสินใจโดยอิงจากแบบจำลอง

กระบวนการนี้มักเป็นแบบวนซ้ำ ผลการตรวจสอบความถูกต้องหรือการแปลความหมายที่ไม่น่าพอใจอาจต้องย้อนกลับไปยังขั้นตอนก่อนหน้า (การปรับปรุงการกำหนดปัญหา การเปลี่ยนข้อสมมติ หรือการแก้ไขแบบจำลอง)

## แนวทางหลักการ

แนวทางหลักการที่อิงจากงานของ Clive Dym (*Principles of Mathematical Modeling*) เสนอให้พิจารณาการสร้างแบบจำลองเป็นลำดับของการตอบคำถามสำคัญ:

- Why? (ทำไม?): ความต้องการแบบจำลองคืออะไร? จำเป็นต้องกำหนดเป้าหมายของการสร้างแบบจำลองและปัญหาที่แบบจำลองควรช่วยแก้ไขให้ชัดเจน
- Find? (ค้นหา?): เราต้องการทราบอะไร? ข้อมูลผลลัพธ์ ลักษณะเฉพาะ หรือข้อมูลที่เฉพาะเจาะจงใดที่แบบจำลองต้องจัดหาเพื่อบรรลุเป้าหมาย?
- Given? (ให้มา?): เรารู้อะไรบ้าง? ข้อมูล ข้อมูล (จากการทดลอง สถิติ) ความรู้เกี่ยวกับระบบ และทรัพยากรที่มีอยู่แล้วมีอะไรบ้าง?
- Assume? (ข้อสมมติ?): เราทำข้อสมมติอะไร? การกำหนดการลดความซับซ้อน อุดมคติ สมมติฐานเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบ และขอบเขตการใช้งานของแบบจำลอง ขั้นตอนนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากเป็นตัวกำหนดความเพียงพอของแบบจำลอง
- How? (อย่างไร?): ระบบทำงานอย่างไร? การระบุกฎหมายพื้นฐาน (ทางฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ) กลไก และความสัมพันธ์ที่ควบคุมพฤติกรรมของวัตถุที่สร้างแบบจำลอง
- Predict? (การพยากรณ์?): แบบจำลองจะทำนายอะไร? การกำหนดสมการทางคณิตศาสตร์ อสมการ กฎเชิงตรรกะ หรืออัลกอริทึมที่ประกอบเป็นแกนหลักของแบบจำลอง และการกำหนดการคำนวณที่จะดำเนินการ
- Valid? (ความถูกต้อง?): การทำนายของแบบจำลองสอดคล้องกับความเป็นจริงมากน้อยเพียงใด? การเปรียบเทียบผลการสร้างแบบจำลองกับข้อมูลจริงหรือข้อเท็จจริงที่ทราบเพื่อตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองต่อเป้าหมายที่ตั้งไว้
- Verified? (ความมีประโยชน์/การตรวจสอบ?): แบบจำลองมีประโยชน์ต่อการบรรลุเป้าหมายเดิม (Why?) หรือไม่? ผลลัพธ์และความแม่นยำของแบบจำลองที่ได้รับตอบสนองความต้องการเดิมหรือไม่? (นอกจากนี้ ในขั้นตอนนี้อาจมีการตรวจสอบ — การตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณทางคณิตศาสตร์และการนำไปใช้ในซอฟต์แวร์)
- Improve? (การปรับปรุง?): สามารถและควรปรับปรุงแบบจำลองหรือไม่? การระบุพารามิเตอร์ที่ต้องการการปรับแต่ง ข้อสมมติที่สามารถผ่อนคลายได้ หรือด้านที่ยังไม่ได้คำนึงถึงซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มเพื่อความแม่นยำหรือความกว้างของการประยุกต์ใช้มากขึ้น
- Use? (การใช้งาน?): จะนำผลลัพธ์ไปใช้อย่างไร? การแปลความหมายของการทำนายและข้อสรุปของแบบจำลองเพื่อการตัดสินใจ การได้รับความรู้ใหม่ การพยากรณ์ การปรับปรุงให้เหมาะสม หรือการควบคุมระบบ

## ปัญหาโดยตรงและปัญหาผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

โดยทั่วไปจะแบ่งปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ออกเป็นสองประเภทหลัก:

- **ปัญหาโดยตรง** คือการศึกษาแบบจำลองที่มีโครงสร้างและพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุ
- **ปัญหาผกผัน** คือการเลือกแบบจำลองที่เฉพาะเจาะจงหรือการกำหนดพารามิเตอร์ของมันโดยอิงจากข้อมูลเชิงทดลองหรือเชิงประจักษ์ที่มีอยู่

### ปัญหาโดยตรง

เป้าหมายของปัญหาโดยตรง คือการตอบคำถามเกี่ยวกับการตอบสนองของระบบต่ออิทธิพลภายนอกหรือการกำหนดลักษณะของมันภายใต้เงื่อนไขต่างๆ โดยอิงจากคุณสมบัติที่ทราบของระบบ ด้านหลักของเป้าหมายปัญหาโดยตรง:

- การศึกษาพฤติกรรมของวัตถุโดยอิงจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดซึ่งมีโครงสร้างและพารามิเตอร์ที่ทราบ
- การได้รับลักษณะเชิงปริมาณหรือเชิงคุณภาพของระบบ เช่น การกำหนดความเค้น สนามอุณหภูมิ การตอบสนองพลวัตต่อโหลด เป็นต้น
- การพยากรณ์สถานะของวัตถุภายใต้อิทธิพลภายนอกต่างๆ (โหลด การเปลี่ยนแปลงสภาพแวดล้อม การกระทำที่ควบคุมได้)
- การวิเคราะห์ความเสถียรและความน่าเชื่อถือของระบบ การกำหนดโหมดการทำงานสูงสุดของระบบ
- การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุที่กำหนดขึ้นจากแบบจำลอง
- การปรับปรุงกระบวนการควบคุมให้เหมาะสมโดยการคำนวณการตอบสนองของแบบจำลองต่ออิทธิพลการควบคุม
- การประเมินความไวของผลลัพธ์ต่อการเปลี่ยนแปลงในเงื่อนไขเริ่มต้นและพารามิเตอร์ของแบบจำลอง

### ปัญหาผกผัน

เป้าหมายของปัญหาผกผัน คือการกำหนดโครงสร้างของแบบจำลองหรือพารามิเตอร์ของมันโดยอิงจากข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบจริง

ด้านหลักของเป้าหมายปัญหาผกผัน:

- ค้นหาพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบของแบบจำลอง (เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น การนำความร้อน ความต้านทาน เป็นต้น)
- กำหนดโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ของกระบวนการโดยอิงจากข้อมูลผลลัพธ์ที่สังเกตได้
- สร้างหรือปรับแต่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อให้พฤติกรรมของมันสอดคล้องกับข้อมูลเชิงทดลองหรือเชิงประจักษ์
- พัฒนาวิธีการที่เหมาะสมในการประมวลผลและแปลความหมายข้อมูลการสังเกตและการทดลอง

## การตรวจสอบและการยืนยัน (Verification and Validation)

หลังจากสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และได้รับการนำไปใช้ในรูปแบบซอฟต์แวร์หรืออัลกอริทึมแล้ว ขั้นตอนที่สำคัญอย่างยิ่งคือการประเมินความถูกต้องและความสามารถในการนำไปใช้ของมัน สำหรับสิ่งนี้ จะใช้กระบวนการสองอย่างที่เชื่อมโยงกัน แต่แตกต่างกัน คือ การตรวจสอบ (Verification) และการยืนยัน (Validation)

- **การตรวจสอบ (Verification):**
  - คำถาม: *เรากำลังสร้าง (นำไปใช้) แบบจำลองอย่างถูกต้องหรือไม่?*
  - ความหมาย: การตรวจสอบว่าการนำไปใช้ในซอฟต์แวร์หรืออัลกอริทึมเชิงคำนวณของแบบจำลองสอดคล้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์และคำอธิบายเชิงแนวคิดของมันอย่างถูกต้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การตรวจสอบยืนยันว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องและอัลกอริทึมทำงานโดยปราศจากข้อผิดพลาดตามตรรกะที่ฝังอยู่
  - วิธีการ: การวิเคราะห์และตรวจสอบโค้ด การทดสอบกับผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์ที่ทราบ (หากมี) การเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ของโปรแกรมที่ผ่านการทดสอบแล้วอื่นๆ การตรวจสอบความเสถียรเชิงตัวเลขและการบรรจบกันของอัลกอริทึม
- **การยืนยัน (Validation):**
  - คำถาม: *เราสร้างแบบจำลองที่ถูกต้องหรือไม่?*
  - ความหมาย: การกำหนดระดับความสอดคล้องของแบบจำลองกับวัตถุ กระบวนการ หรือปรากฏการณ์จริงที่มันมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบาย *ในบริบทของเป้าหมายการสร้างแบบจำลอง* การยืนยันตอบคำถามว่าแบบจำลองสะท้อนด้านที่เราสนใจของความเป็นจริงได้ดีเพียงใด
  - วิธีการ: การเปรียบเทียบผลการสร้างแบบจำลองกับข้อมูลเชิงทดลอง ข้อมูลการสังเกตระบบจริง ข้อมูลทางสถิติ ข้อเท็จจริงที่ทราบ หรือผลลัพธ์ของแบบจำลองอื่นๆ ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว การประเมินความไวของแบบจำลองต่อการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์

ความแตกต่างหลัก:

- การตรวจสอบ (Verification) เปรียบเทียบ *การนำแบบจำลองไปใช้* กับ *ข้อกำหนดของมัน* (คำอธิบายทางคณิตศาสตร์)
- การยืนยัน (Validation) เปรียบเทียบ *แบบจำลอง (โดยรวม)* กับ *ความเป็นจริง*

อาจมีแบบจำลองที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์แต่ไม่เพียงพอต่อกระบวนการจริง (ผ่านการตรวจสอบแต่ไม่ผ่านการยืนยัน) หรือแบบจำลองที่คิดว่าเพียงพอแต่ถูกนำไปใช้อย่างมีข้อผิดพลาด (ไม่ผ่านการตรวจสอบ)

กระบวนการตรวจสอบและการยืนยันเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ของกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระบวนการเหล่านี้สร้างความเชื่อมั่นในผลการสร้างแบบจำลองและช่วยให้สามารถประเมินขอบเขตการใช้งานของแบบจำลองได้ หากไม่มีกระบวนการเหล่านี้ การใช้แบบจำลองเพื่อการพยากรณ์ การปรับปรุงให้เหมาะสม หรือการตัดสินใจอาจไม่ถูกต้อง

## ข้อจำกัดและข้อสมมติ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามเป็นการทำให้เป็นนามธรรม — การลดความซับซ้อนของความเป็นจริงที่ศึกษาอย่างมีจุดมุ่งหมาย มันอิงจากข้อสมมติจำนวนหนึ่ง และเช่นเดียวกับแผนที่ใดๆ มันไม่ใช่อาณาเขตนั้นเอง แต่เป็นเพียงคำอธิบายของมันสำหรับวัตถุประสงค์เฉพาะ สิ่งนี้ทำให้มีข้อจำกัดดังต่อไปนี้:

1.  ความไม่สมบูรณ์: แบบจำลองคำนึงถึงเฉพาะปัจจัยและความสัมพันธ์ที่สำคัญ (จากมุมมองของเป้าหมายการวิจัยและข้อสมมติที่ทำไว้) โดยละเว้นรายละเอียดอื่นๆ อย่างมีสติเพื่อลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์
2.  การพึ่งพาข้อสมมติ: ความถูกต้อง ความแม่นยำ และขอบเขตการใช้งานของแบบจำลองขึ้นอยู่กับความถูกต้องของข้อสมมติที่ทำไว้โดยตรง ข้อสมมติที่ไม่ถูกต้องหรือถูกละเมิดนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่แม่นยำหรือไม่ถูกต้อง
3.  ขอบเขตการใช้งานที่จำกัด: แบบจำลองอธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอเฉพาะในเงื่อนไขบางอย่าง (ที่สอดคล้องกับข้อสมมติ) และสำหรับการแก้ปัญหาเฉพาะกลุ่มที่มันถูกสร้างและทดสอบ การขยายผลเกินขอบเขตเหล่านี้ไม่ถูกต้อง
4.  ความคลาดเคลื่อน: อันเนื่องจากการลดความซับซ้อน ผลการสร้างแบบจำลองจึงมีความคลาดเคลื่อนบางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับพฤติกรรมจริงของวัตถุเสมอ
5.  ความจำเป็นในการยืนยัน: เนื่องจากแบบจำลองเป็นการลดความซับซ้อน ความเพียงพอของมันจึงต้องได้รับการตรวจสอบ (การยืนยัน) โดยอิงจากข้อมูลจริง (เชิงทดลองหรือที่สังเกตได้) เสมอ
6.  ความไว: ผลการสร้างแบบจำลองอาจไวต่อการเปลี่ยนแปลงในข้อมูลอินพุต พารามิเตอร์ของแบบจำลอง และข้อสมมติที่ทำไว้ ซึ่งมักต้องทำการวิเคราะห์ความไว

## ตัวอย่างการประยุกต์ใช้

- ในฟิสิกส์: การสร้างแบบจำลองการนำความร้อน อุทกพลศาสตร์ กระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้า
- ในวิศวกรรมศาสตร์: การคำนวณความแข็งแรงของโครงสร้าง การปรับปรุงกระบวนการทางเทคโนโลยีให้เหมาะสม
- ในชีววิทยา: การสร้างแบบจำลองพลวัตของประชากรและการแพร่กระจายของโรค
- ในเศรษฐศาสตร์: การสร้างแบบจำลองเศรษฐกิจมหภาคและแบบจำลองการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด
- ในสังคมวิทยา: การสร้างแบบจำลองกระบวนการอพยพและพลวัตทางสังคม

## วรรณกรรม

- *บทนำสู่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ / บรรณาธิการโดย P.V. Trusov — มอสโก: Universitetskaya kniga, Logos, 2007.*
- *การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แนวคิด วิธีการ ตัวอย่าง Moiseev N.N. — มอสโก: Nauka, 1981.*
- *การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ Galanin M.P., Galanina E.M., Sergeev A.V., Shalaeva A.K. — มอสโก: LKI, 2022.*
- *Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)*

## ความสัมพันธ์กับแนวคิดอื่นๆ

- แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
- แบบจำลองระบบ
- กระบวนการสร้างแบบจำลอง
- การกำหนดรูปแบบของแบบจำลองระบบ
- การสร้างแบบจำลอง
- การวิจัยปฏิบัติการ