--- title: "Kryterium Savage'a" source: "https://systems-analysis.info/int/Kryterium_Savage'a" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Kryterium_Savage'a" language: "pl" categories: - "Category:Decision theory" - "Category:Decision-making" - "Category:Polish" revision_id: 3528 wiki_created_at: 2026-09-06T23:22:10Z wiki_modified_at: 2026-09-06T23:22:10Z downloaded_at: 2026-09-07T22:57:26Z --- # Kryterium Savage'a **Kryterium Savage'a** (znane również jako **kryterium minimalnego żalu**) — jedna z metod podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Stosuje się je w sytuacjach, gdy prawdopodobieństwa różnych wyników są nieznane, a celem jest minimalizacja potencjalnych strat wynikających z podjęcia nieoptymalnej decyzji. ## Ogólna charakterystyka W warunkach niepewności konsekwencje wyboru każdej strategii nie są określone dokładnie. Do oceny możliwych alternatyw stosuje się szereg kryteriów, takich jak kryteria Walda, Hurwicza, Laplace'a i Savage'a. Kryterium Savage'a nie jest zorientowane na osiągnięcie maksymalnego zysku, lecz na **minimalizację maksymalnego żalu** (strat w porównaniu z najlepszym możliwym wynikiem). **Żal** — to wielkość odzwierciedlająca utracone korzyści wynikające z tego, że nie została wybrana optymalna strategia przy danym wyniku. ## Algorytm stosowania kryterium Savage'a - Budowa macierzy wypłat: Konstruuje się tabelę, w której wiersze odpowiadają możliwym strategiom, a kolumny — możliwym wynikom zdarzeń. Na przecięciu zapisuje się oczekiwany rezultat przy danej strategii i wyniku. - Budowa macierzy żalu (macierzy ryzyka): Dla każdego wyniku (kolumny) wyznacza się maksymalną wartość wygranej. Następnie dla każdej komórki oblicza się wartość żalu: - Wyznaczenie maksymalnych żalów dla każdej strategii: W każdym wierszu macierzy żalu wybiera się wartość maksymalną (najgorszy przypadek dla danej strategii). - Wybór optymalnej strategii: Wybiera się tę strategię, dla której maksymalny żal jest minimalny. W ten sposób kryterium Savage'a realizuje zasadę minimalizacji możliwej straty wynikającej z błędnej decyzji. ## Sformułowanie matematyczne Niech dane są: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — zbiór dostępnych strategii (alternatyw). - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — zbiór możliwych stanów natury. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — funkcja wygranej (użyteczności) przy wyborze strategii $s_{i}$ i nastąpieniu stanu $\theta_{j}$. Często reprezentowana jest macierzą wypłat $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$, gdzie $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. Kryterium Savage'a opiera się na pojęciu **żalu** (regret) lub **utraconych korzyści**. Żal $r(s_{i},\theta_{j})$ dla strategii $s_{i}$ przy stanie natury $\theta_{j}$ definiuje się jako różnicę między maksymalną możliwą wygraną, jaką można było uzyskać przy danym stanie natury $\theta_{j}$ (gdyby została wybrana najlepsza dla tego stanu strategia), a rzeczywistą wygraną ze strategii $s_{i}$. Algorytm stosowania kryterium Savage'a: 1. **Obliczenie macierzy żalu (ryzyka):** **a) Znaleźć maksymalną wygraną dla każdego stanu natury (każdej kolumny macierzy wypłat):** $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$ Jest to najlepszy możliwy wynik, jeśli nastąpi stan $\theta_{j}$. **b) Obliczyć elementy macierzy żalu** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$:\*\* $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$ Element $r_{ij}$ pokazuje, o ile wygrana ze strategii $s_{i}$ jest mniejsza od maksymalnej możliwej przy stanie $\theta_{j}$. Wszystkie elementy $r_{ij} \geq 0$. 1. **Wyznaczenie maksymalnego żalu dla każdej strategii:** Dla każdej strategii $s_{i}$ (każdego wiersza macierzy żalu $R$) wyznacza się jej najgorszy możliwy wynik z punktu widzenia żalu: $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$ 1. **Wybór strategii z minimalnym maksymalnym żalem (zasada minimaksu żalów):** Wybiera się tę strategię $s_{\text{Savage}}^{\ast}$, która minimalizuje wyznaczony maksymalny żal: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$ Lub, podstawiając wyrażenie dla $r_{ij}$: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$ Minimalna wartość maksymalnego żalu, osiągana przy zastosowaniu kryterium Savage'a, wynosi: $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$ W ten sposób kryterium Savage'a ukierunkowane jest na wybór strategii, która gwarantuje najmniejsze straty względem najlepszego możliwego działania dla każdego stanu natury. Kluczowe elementy sformułowania matematycznego: - Definicja żalu $r_{ij}$: To pojęcie centralne. Ważne jest pokazanie, że oblicza się go jako różnicę między najlepszym wynikiem w kolumnie j a bieżącym wynikiem a\_{ij}. - Macierz żalu $R$: Jawnie wskazano sposób jej budowy. - Wyznaczanie $r_{i}^{\max}$: Pokazano wyszukiwanie maksimum w każdym wierszu macierzy żalu. - Zasada minimaksu: Wyraźnie sformułowano wybór strategii przez $\arg\min$ z $\max$ żalów. - Stosowane oznaczenia: Standardowe dla teorii gier i teorii decyzji (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min). ## Zalety i wady **Zalety:** - Zorientowany na minimalizację ryzyka. - Szczególnie skuteczny w warunkach wysokiej niepewności. **Wady:** - Ignoruje oczekiwany zysk, koncentrując się wyłącznie na możliwych stratach. - Może prowadzić do nadmiernie konserwatywnych decyzji. ## Kryteria podejmowania decyzji - Kryterium Hurwicza - Kryterium Laplace'a - Kryterium Walda