--- title: "Kritikus út módszer (CPM)" source: "https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Kritikus_út_módszer_(CPM)" language: "hu" categories: - "Category:Hungarian" - "Category:Operations research" - "Category:Project management" revision_id: 3516 wiki_created_at: 2026-09-06T23:21:59Z wiki_modified_at: 2026-09-06T23:21:59Z downloaded_at: 2026-09-07T22:57:22Z --- # Kritikus út módszer (CPM) **A kritikus út módszer (CPM)** (ang. *Critical Path Method*, *CPM*) — determinisztikus hálózati tervezési és projektmenedzsment módszer, amelyet a munkák sorrendjének és a projekt lehető legrövidebb befejezési határidejének kiszámítására alkalmaznak. A kritikus út a hálózati modell időtartam szerint leghosszabb útvonala; ezen az úton bármely munka késése az egész projekt befejezésének eltolódásával jár^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-kelley1959-2)}. ## Történet A CPM-et az 1950-es évek végén James Kelley (Remington Rand) és Morgan Walker (DuPont) dolgozta ki. 1959-es előadásuk megvetette a módszer ipari alkalmazásának alapjait; az alkotók később a CPM keletkezéséről szóló történeti összefoglalót is megjelentettek^{[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-kelley1959-2)[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-origins-3)}. Ezzel párhuzamosan az USA-ban kifejlesztették a valószínűségi PERT módszert, amellyel a CPM-et gyakran együtt alkalmazzák^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)}. ## Alapfogalmak - **Munka** (activity) — **d** időtartamú tevékenység, amely elődjeitől való függőségekkel rendelkezik. - **Esemény/mérföldkő** — időtartam nélküli pillanat, amely rögzíti a projekt állapotát. - **Kritikus út** — a modell kezdete és befejezése közötti maximális összesített időtartamú munkák sorozata; az ezen lévő munkák teljes tartaléka nulla^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)}. - **Megelőzés** FS, SS, FF, SF kapcsolatokkal és lehetséges lagokkal adható meg; a gyakorlatban a PDM / AON (munkák — csomópontok) elterjedt, míg a történeti ADM / AOA ritkábban fordul elő^{[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pdm-4)[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-adm-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-dependency-6)}. ## Dátumok és tartalékok számítása A számítás a hálózat előre- és visszafelé haladó menetével történik. **Előre haladó menet** (korai dátumok): kezdő munkáknál: **ES = 0** (vagy az elfogadott skála szerint); minden *j* munkára: **ES_j = max{ az összes *i* előd EF_i értéke }**; **EF = ES + d**. **Visszafelé haladó menet** (késői dátumok): a záró munkáknál: **LF** egyenlő a projekt összesített határidejével (vagy a végső mérföldkő korai befejezésével); minden *j* munkára: **LS = LF − d**; **LF_j = min{ az összes *s* utód LS_s értéke }**^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-baker-7)[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-cmu-8)}. **Tartalékok** (float/slack): **Teljes tartalék (TF)**: **TF = LS − ES = LF − EF** — mennyivel késleltethető egy munka a projekt befejezésének eltolódása nélkül. **Szabad tartalék (FF)**: **FF = min{ ES_succ } − EF** — késleltetés az utódok korai kezdésére gyakorolt hatás nélkül^{[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pressbooks-9)[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pmi-ff-10)}. ## Kapcsolatok és lagok A PDM négy alapvető függőségtípust támogat: **FS** (finish‑to‑start), **SS** (start‑to‑start), **FF** (finish‑to‑finish), **SF** (start‑to‑finish). Minden kapcsolathoz lag tartozhat (pozitív vagy negatív), például **FS + 2d** — az utód kezdete két nappal az előd befejezése után^{[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-dependency-6)}. ## Határidő-csökkentés (crashing, fast‑tracking) A projekt időtartamának csökkentése lehetséges: - **Crashing** — a kritikus munkák időtartamának célzott csökkentése extra költségek árán; célszerű a legkisebb költségmeredekségű munkákat rövidíteni. **Költségmeredekség** (1 egységnyi rövidítés költsége): **(C_crash − C_normal) / (D_normal − D_crash)**^{[\[11\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-crash-11)}. - **Fast‑tracking** — a megengedett függőségek párhuzamos végrehajtásra való átállítása (pl. FS → SS), az átdolgozás kockázatának növekedésével^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)}. ## Alkalmazási területek A CPM-et naptári tervek készítésére alkalmazzák az építőiparban, az energiaiparban, a gépgyártásban, az IT-projektekben és a K+F területén. A módszer alapvető a projektmenedzsment és a rendszertervezés szabványaiban (PMI, NASA), és a tervezési szoftverekben széles körben támogatott^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)[\[12\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pmi-12)[\[13\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-nasa-13)}. ## Előnyök - A kritikus út és a „szűk keresztmetszetek" egyértelmű azonosítása; a projektmenedzser figyelmének prioritása^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)}. - A korai/késői dátumok és tartalékok számításának egyszerű szabályai; a változások hatásainak átláthatósága^{[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-baker-7)}. - Kompatibilitás PDM/Gantt-diagramokkal és a gyorsítási változatok elemzésének eszközeivel^{[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pdm-4)}. ## Korlátok - Az alap CPM-modell nem veszi figyelembe az erőforrás-korlátokat és az időtartamok sztochasztikus természetét; ezekre erőforrás-kiegyenlítést és bővítményeket alkalmaznak (pl. *critical chain*)^{[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-enwiki-1)}. - Összetett függőségek és lagok használata esetén a tartalékok értelmezése nem triviális; a szerződéses dokumentumokban ajánlott a float számítási szabályok formális meghatározása és ellenőrzése^{[\[10\]](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_note-pmi-ff-10)}. ## Kapcsolat más megközelítésekkel - PERT — az időtartamok valószínűségi becslése (hárompontos becslések, β-közelítés); a CPM determinisztikus időtartamokat alkalmaz. - Gantt-diagram — az ütemterv naptári vizualizációja, amelyet gyakran használnak együtt a CPM/PERT módszerekkel. - Hálózati tervezés — általánosító módszercsoport (CPM, PERT, ADM/AOA, PDM/AON). ## Lásd még - PERT - Gantt-diagram - Hálózati tervezés ## Irodalom - Kelley, J. E.; Walker, M. R. (1959). *Critical‑Path Planning and Scheduling*. IRE‑AIEE‑ACM '59 (Eastern). *ACM Digital Library*. [14] - Kelley, J. E.; Walker, M. R. (1989). *Origins of CPM: A Personal History*. PM Network. *PMI*. [15] - PMI. *PMBOK® Guide*. [16] - NASA. *Systems Engineering Handbook* (SP‑2016‑6105 Rev2). [17] - «Critical path method». *Wikipedia (en)*. [18] - «Precedence diagram method». *Wikipedia (en)*. [19] - «Dependency (project management)». *Wikipedia (en)*. [20] - «Arrow diagramming method». *Wikipedia (en)*. [21] - Baker, S. L. *Critical Path Method (CPM) — Analysis Steps*. University of South Carolina. [22] - «Creating an Activity Network Diagram». *CSU Pressbooks*. [23] - «Crashing Example». An‑Najah National University (oktatási példa). [24] ## Megjegyzés 1. ↑ ^{[1.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-0)} ^{[1.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-1)} ^{[1.2](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-2)} ^{[1.3](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-3)} ^{[1.4](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-4)} ^{[1.5](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-5)} ^{[1.6](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-enwiki_1-6)} «Critical path method». *Wikipedia (en)*. [1] 2. ↑ ^{[2.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-kelley1959_2-0)} ^{[2.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-kelley1959_2-1)} Kelley, J. E., Jr.; Walker, M. R. (1959). «Critical-Path Planning and Scheduling». *IRE‑AIEE‑ACM '59 (Eastern)*. *ACM Digital Library*. [2] 3. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-origins_3-0) Kelley, J. E.; Walker, M. R. (1989). «Origins of CPM: A Personal History». *PM Network*. *Project Management Institute*. [3] 4. ↑ ^{[4.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pdm_4-0)} ^{[4.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pdm_4-1)} «Precedence diagram method». *Wikipedia (en)*. [4] 5. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-adm_5-0) «Arrow diagramming method». *Wikipedia (en)*. [5] 6. ↑ ^{[6.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-dependency_6-0)} ^{[6.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-dependency_6-1)} «Dependency (project management)». *Wikipedia (en)*. [6] 7. ↑ ^{[7.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-baker_7-0)} ^{[7.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-baker_7-1)} Baker, S. L. «Critical Path Method (CPM) — Analysis Steps». University of South Carolina. [7] 8. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-cmu_8-0) «Fundamental Scheduling Procedures». *Project Management*, Carnegie Mellon University. [8] 9. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pressbooks_9-0) «Creating an Activity Network Diagram». *Project Management — Navigating the Complexity*. Cleveland State University Pressbooks. [9] 10. ↑ ^{[10.0](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pmi-ff_10-0)} ^{[10.1](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pmi-ff_10-1)} «Critical Path Method Calculations». *PMI*. [10] 11. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-crash_11-0) «Crashing Example». An‑Najah National University (учебный пример). [11] 12. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-pmi_12-0) PMI. *A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK® Guide)*. [12] 13. [↑](https://systems-analysis.info/int/Kritikus_%C3%BAt_m%C3%B3dszer_(CPM)#cite_ref-nasa_13-0) NASA. *Systems Engineering Handbook* (NASA/SP‑2016‑6105 Rev2). [13]