---
title: "Integer programming — การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็ม"
source: "https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Integer_programming_—_การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็ม"
language: "th"
categories:
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Thai"
revision_id: 3266
wiki_created_at: 2026-09-06T23:18:09Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:18:09Z
downloaded_at: 2026-09-07T22:56:02Z
---

# Integer programming — การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็ม

**การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็ม** (**ЦП**; อังกฤษ *integer programming, IP*) — เป็นสาขาหนึ่งของการหาค่าเหมาะที่สุดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งศึกษาปัญหาที่ตัวแปรบางส่วนหรือทั้งหมดต้องรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-ru-wiki-ip-1)</sup>

กรณีพิเศษที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือ **การโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม** (**ЦЛП**; อังกฤษ *integer linear programming, ILP*) ซึ่งฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดเป็นเชิงเส้น ต่างจากการโปรแกรมเชิงเส้นที่ตัวแปรสามารถรับค่าจำนวนจริงใดก็ได้ ข้อกำหนดความเป็นจำนวนเต็มทำให้ปัญหาการโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มมีความซับซ้อนในการแก้ไขมากขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ<sup>[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-wolsey-book-2)</sup>

การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในด้านเศรษฐศาสตร์ โลจิสติกส์ การวางแผนการผลิต และสาขาอื่น ๆ ที่ตัวแปรมีลักษณะเป็นค่าไม่ต่อเนื่องโดยธรรมชาติ (เช่น จำนวนหน่วยสินค้าที่ผลิตได้หรือจำนวนพนักงาน)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-pisaruk-book-3)</sup>

## นิยามและคำศัพท์

ปัญหาทั่วไปของการโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ดังนี้:

หาเวกเตอร์ $x$ ซึ่ง:

หาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของ $c^{T}x$

ภายใต้เงื่อนไข:

$Ax \leq b$

$x \geq 0$

$x \in {\mathbb{Z}}^{n}$ (ทุกองค์ประกอบของเวกเตอร์ $x$ เป็นจำนวนเต็ม)

โดยที่ $x$ คือเวกเตอร์ของตัวแปร, $c$ และ $b$ คือเวกเตอร์, และ $A$ คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-conforti-book-4)</sup>

ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดของตัวแปร ปัญหาแบ่งออกเป็นประเภทต่าง ๆ ดังนี้:

- **การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มทั้งหมด**: ตัวแปรทั้งหมดต้องเป็นจำนวนเต็ม
- **การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มผสม** (อังกฤษ *mixed-integer programming, MIP*): เฉพาะบางส่วนของตัวแปรเท่านั้นที่ต้องเป็นจำนวนเต็ม
- **การโปรแกรมแบบบูลีน (0-1)**: ตัวแปรรับค่าได้เพียง 0 หรือ 1 เท่านั้น ซึ่งช่วยให้สามารถจำลองการตัดสินใจเชิงตรรกะแบบ «ใช่/ไม่ใช่» ได้

## คุณสมบัติสำคัญและความซับซ้อน

### ความซับซ้อนเชิงการคำนวณ

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มในกรณีทั่วไปถือเป็นปัญหา NP-hard<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-karp-1972-5)</sup> ซึ่งหมายความว่าไม่มีอัลกอริทึมที่รู้จักซึ่งสามารถหาคำตอบที่เหมาะที่สุดได้อย่างแม่นยำสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มโดยทั่วไปในเวลาพหุนาม ความซับซ้อนนี้มีสาเหตุมาจากลักษณะเชิงการจัดหมู่ของปัญหา เนื่องจากจำนวนคำตอบจำนวนเต็มที่เป็นไปได้อาจเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อจำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้น

### ความสัมพันธ์กับการโปรแกรมเชิงเส้น (การผ่อนคลาย LP)

สำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มใด ๆ สามารถกำหนด **การผ่อนคลายเชิงเส้น** ได้ ซึ่งเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (LP) ที่ละทิ้งข้อกำหนดความเป็นจำนวนเต็มของตัวแปร คำตอบของการผ่อนคลาย LP มีคุณสมบัติสำคัญสองประการ:

1.  สามารถหาได้เร็วกว่ามาก (ในเวลาพหุนาม)
2.  ค่าที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จากการผ่อนคลาย LP ให้ขอบเขต (ขอบบนสำหรับปัญหาการหาค่าสูงสุดและขอบล่างสำหรับปัญหาการหาค่าต่ำสุด) สำหรับค่าที่เหมาะที่สุดของปัญหาจำนวนเต็มต้นฉบับ<sup>[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-wolsey-book-2)</sup>

อย่างไรก็ตาม การปัดเศษคำตอบเศษส่วนของการผ่อนคลาย LP ให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดโดยตรง โดยทั่วไปแล้วไม่นำไปสู่คำตอบที่เหมาะที่สุดหรือแม้แต่คำตอบที่เป็นไปได้ของปัญหาจำนวนเต็ม<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-ru-wiki-ip-1)</sup>

### คุณสมบัติ Totally Unimodular

มีประเภทปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มที่สำคัญซึ่งสามารถแก้ได้ง่ายพอ ๆ กับการผ่อนคลาย LP ของตัวเอง นั่นคือปัญหาที่เมทริกซ์ข้อจำกัด $A$ เป็น **totally unimodular** (กล่าวคือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยสี่เหลี่ยมจัตุรัสใด ๆ ของมันเท่ากับ 0, +1 หรือ −1) หากเมทริกซ์ $A$ เป็น totally unimodular และเวกเตอร์ $b$ เป็นจำนวนเต็ม จุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้จากการผ่อนคลาย LP จะเป็นจำนวนเต็มโดยอัตโนมัติ ดังนั้น คำตอบที่หาได้โดยวิธีซิมเพล็กซ์จะเป็นจำนวนเต็ม<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-conforti-book-4)</sup> ตัวอย่างของปัญหาเหล่านี้ได้แก่ ปัญหาการขนส่งและปัญหาการมอบหมายงาน

## วิธีการแก้ปัญหา

สำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มทั่วไปที่ไม่มีคุณสมบัติ totally unimodular ได้มีการพัฒนาวิธีการที่แม่นยำโดยอาศัยแนวคิดการค้นหาแบบไม่ชัดแจ้ง

- **วิธีสาขาและขอบเขต** (อังกฤษ *Branch and Bound*) — วิธีการที่แม่นยำหลัก อาศัยการแบ่งเซตของคำตอบที่เป็นไปได้อย่างเป็นระบบออกเป็นเซตย่อย (การแตกสาขา) และการตัดทิ้งเซตย่อยที่แน่นอนว่าไม่มีคำตอบที่เหมาะที่สุด สำหรับการประเมินความมีแนวโน้มของเซตย่อยจะใช้การผ่อนคลาย LP<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-en-wiki-ip-6)</sup>

<!-- -->

- **วิธีระนาบตัด** (วิธีของ Gomory; อังกฤษ *Cutting Plane Method*) — แนวทางเชิงวนซ้ำที่เพิ่มข้อจำกัดเชิงเส้นใหม่ («การตัด») ให้กับปัญหาอย่างต่อเนื่อง การตัดเหล่านี้ «ตัดออก» คำตอบเศษส่วนของการผ่อนคลาย LP โดยไม่กระทบคำตอบจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ใด ๆ เพื่อค่อย ๆ ทำให้บริเวณคำตอบที่เป็นไปได้ของการผ่อนคลาย LP เข้าใกล้เปลือกนูนของคำตอบจำนวนเต็ม<sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-en-wiki-ip-6)</sup>

ตัวแก้ปัญหาสมัยใหม่โดยทั่วไปใช้อัลกอริทึมแบบผสมผสาน เช่น **วิธีสาขาและตัด** (อังกฤษ *Branch and Cut*) ซึ่งรวมข้อดีของทั้งสองแนวทางเข้าด้วยกัน

## ตัวอย่างและพื้นที่การประยุกต์ใช้

การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มช่วยให้สามารถจำลองปัญหาคลาสสิกของการหาค่าเหมาะที่สุดเชิงการจัดหมู่ได้หลากหลาย

- *ปัญหากระเป๋าเป้ (Knapsack Problem)*: ปัญหาคลาสสิกของการโปรแกรม 0-1 ที่ต้องเลือกชุดของสิ่งของที่มีมูลค่ารวมสูงสุดโดยไม่เกินข้อจำกัดด้านน้ำหนักรวม
- *ปัญหาพนักงานขาย (Travelling Salesman Problem)*: ปัญหาการหาเส้นทางสั้นที่สุดที่ผ่านชุดเมืองที่กำหนด สามารถกำหนดเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มได้ โดยตัวแปรจะรับผิดชอบการรวมขอบของกราฟในเส้นทางสุดท้าย

ด้วยความยืดหยุ่นของมัน การโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มจึงเป็นหนึ่งในเครื่องมือที่เป็นที่ต้องการมากที่สุดในการวิจัยเชิงปฏิบัติการ และมีการประยุกต์ใช้ในสาขาต่าง ๆ เช่น:

- **โลจิสติกส์และการบริหารห่วงโซ่อุปทาน**: การหาค่าเหมาะที่สุดของเส้นทางขนส่ง การจัดวางคลังสินค้า การบริหารสินค้าคงคลัง
- **การวางแผนการผลิต**: การจัดทำตารางการผลิต การจัดสรรทรัพยากร การโหลดเครื่องจักร
- **การเงินและเศรษฐศาสตร์**: การสร้างพอร์ตการลงทุน การจัดทำงบประมาณเงินลงทุน
- **โทรคมนาคมและพลังงาน**: การออกแบบเครือข่ายการสื่อสาร การวางแผนการทำงานของหน่วยผลิตไฟฟ้า

## ดูเพิ่มเติม

- การโปรแกรมเชิงเส้น
- วิธีสาขาและขอบเขต

## หมายเหตุ

<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-ru-wiki-ip-1)</sup> <sup>[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-wolsey-book-2)</sup> <sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-pisaruk-book-3)</sup> <sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-conforti-book-4)</sup> <sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-karp-1972-5)</sup> <sup>[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_note-en-wiki-ip-6)</sup> \</references\>

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-ip-1">↑ <sup>[1.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-ru-wiki-ip_1-0)</sup> <sup>[1.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-ru-wiki-ip_1-1)</sup> <sup>[1.2](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-ru-wiki-ip_1-2)</sup> "Целочисленное программирование". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Целочисленное_программирование" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-wolsey-book-2">↑ <sup>[2.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-wolsey-book_2-0)</sup> <sup>[2.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-wolsey-book_2-1)</sup> <sup>[2.2](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-wolsey-book_2-2)</sup> Wolsey, Laurence A. (2020). *Integer Programming* (2nd ed.). John Wiley & Sons.</span>
3.  <span id="cite_note-pisaruk-book-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-pisaruk-book_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-pisaruk-book_3-1)</sup> Писарук Н.Н. (2010). *Модели и методы смешанного целочисленного программирования*. Минск: БГУ.</span>
4.  <span id="cite_note-conforti-book-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-conforti-book_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-conforti-book_4-1)</sup> <sup>[4.2](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-conforti-book_4-2)</sup> Conforti, M., Cornuéjols, G., & Zambelli, G. (2014). *Integer Programming*. Springer.</span>
5.  <span id="cite_note-karp-1972-5">↑ <sup>[5.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-karp-1972_5-0)</sup> <sup>[5.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-karp-1972_5-1)</sup> Karp, Richard M. (1972). "Reducibility among Combinatorial Problems". In: *Complexity of Computer Computations*. Springer.</span>
6.  <span id="cite_note-en-wiki-ip-6">↑ <sup>[6.0](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-en-wiki-ip_6-0)</sup> <sup>[6.1](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-en-wiki-ip_6-1)</sup> <sup>[6.2](https://systems-analysis.info/int/Integer_programming_%E2%80%94_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1#cite_ref-en-wiki-ip_6-2)</sup> "Integer programming". *Wikipedia*. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_programming" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>