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title: "Hurwicz criterion — 赫维茨准则"
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article: "Hurwicz_criterion_—_赫维茨准则"
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revision_id: 3075
wiki_created_at: 2026-09-06T23:15:19Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T23:15:19Z
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# Hurwicz criterion — 赫维茨准则

**赫维茨准则** (Hurwicz criterion) 是在不确定条件下进行决策的方法之一，它在极端乐观和极端悲观之间提供了一种平衡的方法。

## 准则的本质

在事件结果未知的情况下选择策略时，赫维茨准则建议同时考虑：

- 最差可能结果（悲观方法），
- 最佳可能结果（乐观方法）。

为此，引入一个特殊参数——乐观系数，其取值范围为0到1。该系数越接近1，表示越关注最佳结果；越接近0，则表示越考虑最差可能结果。

### 数学公式

设给定：

- $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — 可用策略（备选方案）的集合。
- $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — 可能的自然状态集合。
- $u(s_{i},\theta_{j})$ — 选择策略 $s_{i}$ 且自然状态为 $\theta_{j}$ 时的收益（效用）函数。通常表示为支付矩阵 $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$，其中 $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$。

赫维茨准则引入**乐观系数** $\alpha$ (alpha)，由决策者 (DM) 在 $0 \leq \alpha \leq 1$ 范围内选择。该系数反映了决策者的乐观程度：

- $\alpha = 1$ 对应完全乐观（只考虑最佳可能结果）。
- $\alpha = 0$ 对应完全悲观（只考虑最差可能结果，此时该准则简化为瓦尔德准则）。
- $(1 - \alpha)$ 的值可解释为**悲观系数**。

应用赫维茨准则的步骤如下：

1.  **为每个策略找到最小和最大收益：** 对每个策略 $s_{i} \in S$，确定：
    \*\*最差结果（最小收益）：\*\*
    $u_{i}^{\min} = \min\limits_{j = 1,\ldots,n}u(s_{i},\theta_{j}) = \min\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)$
    \*\*最佳结果（最大收益）：\*\*
    $u_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}u(s_{i},\theta_{j}) = \max\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)$

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1.  **为每个策略计算赫维茨准则值：** 对每个策略 $s_{i}$，根据乐观系数 $\alpha$ 计算结合了最佳和最差结果的加权值：
    $H(s_{i},\alpha) = \alpha \cdot u_{i}^{\max} + (1 - \alpha) \cdot u_{i}^{\min}$
    该值代表了根据决策者通过 $\alpha$表达的偏好，策略 $s_{i}$ 的期望收益。

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1.  **选择最优策略：** 选择使计算出的赫维茨准则值最大化的策略 $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast}$：
    $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast} = \arg\max\limits_{i = 1,\ldots,m}H(s_{i},\alpha) = \arg\max\limits_{s_{i} \in S}\left( \alpha \cdot u_{i}^{\max} + (1 - \alpha) \cdot u_{i}^{\min} \right)$

赫维茨准则的最优值（考虑乐观系数 $\alpha$ 的保证水平）等于： $V_{\text{Hurwicz}} = \max\limits_{i = 1,\ldots,m}H(s_{i},\alpha) = \max\limits_{s_{i} \in S}\left( \alpha \cdot (\max\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)) + (1 - \alpha) \cdot (\min\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)) \right)$

#### 关于损失函数的说明

如果使用需要最小化的损失函数 $L(s_{i},\theta_{j})$，则赫维茨准则用于最小化最佳结果（最小损失）和最差结果（最大损失）的加权组合：

1.  对每个策略 $s_{i}$，找到最小损失 $L_{i}^{\min}$ 和最大损失 $L_{i}^{\max}$。
2.  计算评价值：$H_{L}(s_{i},\alpha) = \alpha \cdot L_{i}^{\min} + (1 - \alpha) \cdot L_{i}^{\max}$
3.  选择使该值最小化的策略：$s_{\text{Hurwicz}}^{\ast} = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}H_{L}(s_{i},\alpha)$

此处 $\alpha$ 仍然是乐观系数：当 $\alpha = 1$ 时，决策者专注于最小化最小损失（乐观地期望最佳结果）；当 $\alpha = 0$ 时，则专注于最小化最大损失（悲观地为最坏情况做准备）。

## 准则的应用

应用赫维茨准则的过程包括以下步骤：

1.  确定每种可能策略的最小和最大结果。
2.  根据所选的乐观水平，为每个策略计算一个最终评分，该评分是其最差和最佳结果之间的加权值。
3.  选择最终评分最高的策略。

因此，决策者选择的策略能最好地反映其自身对风险和不确定性的态度。

## 优点与缺点

**优点：**

- 允许根据决策者的性格和偏好调整选择过程。
- 同时考虑了风险和潜在收益。

**缺点：**

- 需要主观选择乐观系数，这可能会影响决策的客观性。