---
title: "Feasible region — قابلِ قبول حل کا علاقہ"
source: "https://systems-analysis.info/int/Feasible_region_%E2%80%94_%D9%82%D8%A7%D8%A8%D9%84%D9%90_%D9%82%D8%A8%D9%88%D9%84_%D8%AD%D9%84_%DA%A9%D8%A7_%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%82%DB%81"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Feasible_region_—_قابلِ_قبول_حل_کا_علاقہ"
language: "ur"
categories:
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Terminology"
  - "Category:Terms"
  - "Category:Urdu"
revision_id: 2119
wiki_created_at: 2026-09-06T22:58:54Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T22:58:54Z
downloaded_at: 2026-09-07T22:49:26Z
---

# Feasible region — قابلِ قبول حل کا علاقہ

**قابلِ قبول حل کا علاقہ (ق ق ع)** (نیز **قابلِ قبول حلوں کا مجموعہ**، انگریزی: *Feasible region, feasible set*) — آپریشنز ریسرچ، اصلاح (Optimization) اور ریاضیاتی ماڈلنگ میں یہ ان تمام ممکنہ حلوں (متغیرات کی اقدار کے مجموعوں) کا مجموعہ ہے جو مسئلے پر عائد **تمام** پابندیوں کو پورا کرتے ہیں۔

ق ق ع ایک ذیلی فضا (subspace) کی نمائندگی کرتا ہے جس میں بہترین حل کی تلاش کی جاتی ہے۔ اس علاقے سے باہر کا کوئی بھی حل ناقابلِ قبول سمجھا جاتا ہے۔

## تعریف اور تشکیل

قابلِ قبول حل کا علاقہ مسئلے کی ہر انفرادی پابندی سے متعین مجموعوں کے اشتراک (intersection) کے طور پر تشکیل پاتا ہے۔ پابندیاں درج ذیل صورتوں میں ہو سکتی ہیں:

- **عدم مساوات (Inequalities):** متغیرات یا ان کے مجموعوں کی اقدار کے لیے اوپری یا نچلی حدیں مقرر کرتی ہیں (مثلاً، "وسیلہ الف کا استعمال 100 اکائیوں سے زیادہ نہیں ہونا چاہیے"، "تیار شدہ مصنوعات کی تعداد کم از کم 50 ہونی چاہیے")۔
- **مساوات (Equalities):** شرط کی بالکل درست تکمیل کا تقاضا کرتی ہیں (مثلاً، "نقل و حمل کا کل حجم 1000 ٹن کے برابر ہونا چاہیے"، "آنے والے اور جانے والے بہاؤ کا توازن صفر ہے")۔
- **متغیرات کی علامت کی شرائط:** اکثر متغیرات کا غیر منفی، صحیح عددی (integer) یا کسی مخصوص مجموعۂ اعداد سے تعلق رکھنا ضروری ہوتا ہے۔

کوئی نقطہ (یا متغیرات کی اقدار کا ویکٹر) ق ق ع سے اسی وقت تعلق رکھتا ہے جب وہ بیک وقت ان تمام پابندیوں کو پورا کرے۔

## ہندسی تشریح

ق ق ع کی اکثر واضح ہندسی تشریح ہوتی ہے، خاص طور پر کم متغیرات والے مسائل میں:

- **دو جہتی فضا میں (2 متغیرات):** ہر خطی پابندی-عدم مساوات ایک نیم-مستوی (half-plane) متعین کرتی ہے۔ ق ق ع ان نیم-مستویوں کا اشتراک ہوتا ہے — ایک محدب کثیر الاضلاع (convex polygon) (جو ممکنہ طور پر غیر محدود یا خالی بھی ہو سکتا ہے)۔
- **تین جہتی فضا میں (3 متغیرات):** ہر خطی پابندی-عدم مساوات ایک نیم-فضا (half-space) متعین کرتی ہے۔ ق ق ع ان نیم-فضاؤں کا اشتراک ہوتا ہے — ایک محدب کثیر الوجوہ (convex polyhedron)۔
- **کثیر جہتی فضا میں:** خطی پابندیوں سے متعین ق ق ع ایک محدب کثیر جہتی (polytope) ہوتا ہے۔

غیر خطی پابندیوں کی صورت میں ق ق ع کی شکل زیادہ پیچیدہ ہو سکتی ہے اور وہ محدب نہیں بھی ہو سکتا۔

## اصلاح (Optimization) میں کردار

قابلِ قبول حل کا علاقہ اصلاح میں بنیادی کردار ادا کرتا ہے:

1\. **تلاش کی فضا کا تعین:** مسئلے کا بہترین حل (اگر وہ موجود ہو) **ہمیشہ** ق ق ع کے اندر یا اس کی سرحد پر ہوتا ہے۔ اصلاح کے الگورتھم بالکل اسی علاقے میں ہدف فنکشن (objective function) کی انتہائی قدر تلاش کرتے ہیں۔ 2. **حلوں کے وجود کی جانچ:** اگر ق ق ع خالی مجموعہ ہو (یعنی پابندیاں ایک دوسرے سے متضاد ہوں)، تو مسئلے کا کوئی قابلِ قبول حل نہیں ہوتا، اور اس لیے کوئی بہترین حل بھی نہیں ہوتا۔ 3. **بہترین حل پر اثر:** ق ق ع کی شکل اور جسامت براہِ راست ہدف فنکشن کی انتہائی قدر کے حصول کے امکان اور اس انتہائی قدر کی مقدار پر اثر انداز ہوتی ہے۔

## ق ق ع کی خصوصیات (خطی پروگرامنگ کے مسائل میں)

خطی پروگرامنگ (Linear Programming) کے مسائل میں، جہاں تمام پابندیاں اور ہدف فنکشن خطی ہوں، ق ق ع اہم خصوصیات کا حامل ہوتا ہے:

- **محدبیت (Convexity):** اگر دو نقطے ق ق ع سے تعلق رکھتے ہیں، تو ان نقطوں کو ملانے والا پورا قطعہ بھی ق ق ع سے تعلق رکھتا ہے۔ یہ خاصیت اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ بہترین حل (اگر وہ موجود ہو اور منفرد ہو) ق ق ع کے کثیر الوجوہ کے کسی ایک رأس (vertex) پر واقع ہوگا۔
- **بند ہونا (Closedness):** ق ق ع اپنی سرحدوں کو شامل کرتا ہے (غیر سخت عدم مساوات ≤، ≥ اور مساوات کی وجہ سے)۔

ق ق ع درج ذیل صورتوں میں سے ایک ہو سکتا ہے:

- **محدود (Bounded):** محدود جسامت کا حامل ہو۔
- **غیر محدود (Unbounded):** ایک یا زیادہ سمتوں میں لامحدود پھیلا ہو۔
- **خالی (Empty):** کوئی نقطہ نہ رکھتا ہو۔

## ادبیات

- *وینٹزل ای ایس* آپریشنز ریسرچ: مسائل، اصول، طریقہ کار۔ — ماسکو: ناوکا، 1988۔
- *اکوف آر، ساسیینی ایم* آپریشنز ریسرچ کے بنیادی اصول۔ — ماسکو: میر، 1971۔
- *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

## یہ بھی دیکھیں

- آپریشنز ریسرچ
- اصلاح (Optimization)
- ریاضیاتی ماڈل
- پابندیاں
- قابلِ قبول حل
- بہترین حل
- ہدف فنکشن
- خطی پروگرامنگ (Linear Programming)
- محدب مجموعہ