---
title: "Feasible region — Περιοχή Επιτρεπτών Λύσεων"
source: "https://systems-analysis.info/int/Feasible_region_%E2%80%94_%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CF%87%CE%AE_%CE%95%CF%80%CE%B9%CF%84%CF%81%CE%B5%CF%80%CF%84%CF%8E%CE%BD_%CE%9B%CF%8D%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Feasible_region_—_Περιοχή_Επιτρεπτών_Λύσεων"
language: "el"
categories:
  - "Category:Greek"
  - "Category:Mathematical modeling"
  - "Category:Operations research"
  - "Category:Terminology"
  - "Category:Terms"
revision_id: 2117
wiki_created_at: 2026-09-06T22:58:52Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T22:58:52Z
downloaded_at: 2026-09-07T22:49:25Z
---

# Feasible region — Περιοχή Επιτρεπτών Λύσεων

**Περιοχή επιτρεπτών λύσεων (ΠΕΛ)** (επίσης **σύνολο επιτρεπτών λύσεων**, αγγλ. *Feasible region, feasible set*) — στην έρευνα επιχειρήσεων, στη βελτιστοποίηση και στη μαθηματική μοντελοποίηση, είναι το σύνολο όλων των δυνατών λύσεων (συνόλων τιμών μεταβλητών) που ικανοποιούν **όλους** τους περιορισμούς που έχουν επιβληθεί στο πρόβλημα.

Η ΠΕΛ αποτελεί έναν υποχώρο εντός του οποίου αναζητείται η βέλτιστη λύση. Οποιαδήποτε λύση βρίσκεται εκτός αυτής της περιοχής θεωρείται μη επιτρεπτή.

## Ορισμός και Διαμόρφωση

Η περιοχή επιτρεπτών λύσεων διαμορφώνεται ως η τομή των συνόλων που ορίζονται από κάθε επιμέρους περιορισμό του προβλήματος. Οι περιορισμοί μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή:

- **Ανισοτήτων:** Καθορίζουν ανώτατα ή κατώτατα όρια για τις τιμές των μεταβλητών ή των συνδυασμών τους (π.χ. «η κατανάλωση πόρου Α δεν πρέπει να υπερβαίνει τις 100 μονάδες», «η ποσότητα παραγόμενου προϊόντος πρέπει να είναι τουλάχιστον 50 τεμάχια»).
- **Ισοτήτων:** Απαιτούν την ακριβή εκπλήρωση μιας συνθήκης (π.χ. «ο συνολικός όγκος μεταφορών πρέπει να ισούται με 1000 τόνους», «η ισορροπία εισερχόμενων και εξερχόμενων ροών ισούται με μηδέν»).
- **Συνθηκών πρόσημου μεταβλητών:** Συχνά οι μεταβλητές πρέπει να είναι μη αρνητικές, ακέραιες ή να ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διακριτό σύνολο.

Ένα σημείο (ή διάνυσμα τιμών μεταβλητών) ανήκει στην ΠΕΛ τότε και μόνο τότε όταν ικανοποιεί ταυτόχρονα όλους αυτούς τους περιορισμούς.

## Γεωμετρική Ερμηνεία

Η ΠΕΛ έχει συχνά παραστατική γεωμετρική ερμηνεία, ιδιαίτερα σε προβλήματα με μικρό αριθμό μεταβλητών:

- **Στον δισδιάστατο χώρο (2 μεταβλητές):** Κάθε γραμμικός περιορισμός-ανισότητα ορίζει ένα ημιεπίπεδο. Η ΠΕΛ αποτελεί την τομή αυτών των ημιεπιπέδων — ένα κυρτό πολύγωνο (ενδεχομένως αφόριστο ή κενό).
- **Στον τρισδιάστατο χώρο (3 μεταβλητές):** Κάθε γραμμικός περιορισμός-ανισότητα ορίζει έναν ημιχώρο. Η ΠΕΛ είναι η τομή αυτών των ημιχώρων — ένα κυρτό πολύεδρο.
- **Στον πολυδιάστατο χώρο:** Η ΠΕΛ που ορίζεται από γραμμικούς περιορισμούς είναι ένα κυρτό πολύτοπο.

Στην περίπτωση μη γραμμικών περιορισμών, η ΠΕΛ μπορεί να έχει πιο σύνθετη μορφή και να μην είναι κυρτή.

## Ρόλος στη Βελτιστοποίηση

Η περιοχή επιτρεπτών λύσεων διαδραματίζει θεμελιώδη ρόλο στη βελτιστοποίηση:

1\. **Ορισμός του χώρου αναζήτησης:** Η βέλτιστη λύση του προβλήματος (εφόσον υπάρχει) βρίσκεται **πάντα** εντός της ΠΕΛ ή στο σύνορό της. Οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης αναζητούν το ακρότατο της αντικειμενικής συνάρτησης ακριβώς σε αυτή την περιοχή. 2. **Έλεγχος ύπαρξης λύσεων:** Εάν η ΠΕΛ είναι κενό σύνολο (δηλαδή οι περιορισμοί έρχονται σε αντίφαση μεταξύ τους), τότε το πρόβλημα δεν έχει επιτρεπτές λύσεις και κατά συνέπεια ούτε βέλτιστη λύση. 3. **Επίδραση στη βέλτιστη λύση:** Το σχήμα και το μέγεθος της ΠΕΛ επηρεάζουν άμεσα τη δυνατότητα επίτευξης του ακρότατου της αντικειμενικής συνάρτησης και την τιμή αυτού του ακρότατου.

## Ιδιότητες της ΠΕΛ (σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού)

Σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (ΓΠ), όπου όλοι οι περιορισμοί και η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμικά, η ΠΕΛ διαθέτει σημαντικές ιδιότητες:

- **Κυρτότητα:** Εάν δύο σημεία ανήκουν στην ΠΕΛ, τότε και ολόκληρο το τμήμα που τα ενώνει ανήκει επίσης στην ΠΕΛ. Αυτή η ιδιότητα εγγυάται ότι η βέλτιστη λύση (εφόσον υπάρχει και είναι μοναδική) θα βρίσκεται σε μία από τις κορυφές του πολυέδρου της ΠΕΛ.
- **Κλειστότητα:** Η ΠΕΛ περιλαμβάνει τα σύνορά της (λόγω των μη αυστηρών ανισοτήτων ≤, ≥ και των ισοτήτων).

Η ΠΕΛ μπορεί να είναι:

- **Φραγμένη:** Έχει πεπερασμένες διαστάσεις.
- **Αφόριστη:** Εκτείνεται απεριόριστα προς μία ή περισσότερες κατευθύνσεις.
- **Κενή:** Δεν περιέχει κανένα σημείο.

## Βιβλιογραφία

- *Ventzel E. S.* Έρευνα επιχειρήσεων: προβλήματα, αρχές, μεθοδολογία. — Μόσχα: Nauka, 1988.
- *Ackoff R., Sasieni M.* Βασικές αρχές έρευνας επιχειρήσεων. — Μόσχα: Mir, 1971.
- *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

## Δείτε επίσης

- Έρευνα επιχειρήσεων
- Βελτιστοποίηση
- Μαθηματικό μοντέλο
- Περιορισμοί
- Επιτρεπτή λύση
- Βέλτιστη λύση
- Αντικειμενική συνάρτηση
- Γραμμικός προγραμματισμός
- Κυρτό σύνολο