--- title: "Criterio di Savage" source: "https://systems-analysis.info/int/Criterio_di_Savage" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Criterio_di_Savage" language: "it" categories: - "Category:Decision theory" - "Category:Decision-making" - "Category:Italian" revision_id: 1296 wiki_created_at: 2026-09-06T22:46:31Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:46:31Z downloaded_at: 2026-09-07T22:45:18Z --- # Criterio di Savage **Criterio di Savage** (noto anche come **criterio del rimpianto minimo**) — uno dei metodi di decision making in condizioni di incertezza. Viene applicato nelle situazioni in cui le probabilità dei vari esiti sono sconosciute e l'obiettivo è minimizzare le potenziali perdite derivanti dall'adozione di una decisione non ottimale. ## Caratteristica generale In condizioni di incertezza, le conseguenze della scelta di ciascuna strategia non sono determinate con precisione. Per valutare le possibili alternative si utilizzano diversi criteri, come i criteri di Wald, Hurwicz, Laplace e Savage. Il criterio di Savage è orientato non al raggiungimento del profitto massimo, ma alla **minimizzazione del rimpianto massimo** (delle perdite rispetto al migliore risultato possibile). **Il rimpianto** è una grandezza che riflette il mancato guadagno dovuto al fatto che non è stata scelta la strategia ottimale per un dato esito. ## Algoritmo di applicazione del criterio di Savage - Formazione della matrice dei payoff: Si costruisce una tabella le cui righe corrispondono alle possibili strategie e le colonne ai possibili esiti degli eventi. All'intersezione viene riportato il risultato atteso per una specifica strategia ed esito. - Costruzione della matrice dei rimpianti (matrice dei rischi): Per ciascun esito (colonna) si determina il valore massimo del guadagno. Successivamente, per ciascuna cella viene calcolata la grandezza del rimpianto: - Determinazione dei rimpianti massimi per ciascuna strategia: In ciascuna riga della matrice dei rimpianti viene selezionato il valore massimo (il caso peggiore per quella strategia). - Scelta della strategia ottimale: Viene scelta la strategia per la quale il rimpianto massimo è minimo. In questo modo, il criterio di Savage realizza il principio di minimizzazione della possibile perdita derivante da una decisione errata. ## Formulazione matematica Siano dati: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — insieme delle strategie disponibili (alternative). - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — insieme dei possibili stati della natura. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — funzione di guadagno (utilità) nella scelta della strategia $s_{i}$ e al verificarsi dello stato $\theta_{j}$. Viene spesso rappresentata dalla matrice dei payoff $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$, dove $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. Il criterio di Savage si basa sul concetto di **rimpianto** (regret) o **mancato guadagno**. Il rimpianto $r(s_{i},\theta_{j})$ per la strategia $s_{i}$ nello stato della natura $\theta_{j}$ è definito come la differenza tra il massimo guadagno possibile che avrebbe potuto essere ottenuto in quello stato della natura $\theta_{j}$ (se fosse stata scelta la strategia migliore per quello stato) e il guadagno effettivo dalla strategia $s_{i}$. Algoritmo di applicazione del criterio di Savage: 1. **Calcolo della matrice dei rimpianti (rischi):** **a) Trovare il guadagno massimo per ciascuno stato della natura (ciascuna colonna della matrice dei payoff):** $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$ Questo è il migliore risultato possibile se si verifica lo stato $\theta_{j}$. **b) Calcolare gli elementi della matrice dei rimpianti** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$:\*\* $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$ L'elemento $r_{ij}$ mostra di quanto il guadagno dalla strategia $s_{i}$ è inferiore al massimo possibile nello stato $\theta_{j}$. Tutti gli elementi $r_{ij} \geq 0$. 1. **Determinazione del rimpianto massimo per ciascuna strategia:** Per ciascuna strategia $s_{i}$ (ciascuna riga della matrice dei rimpianti $R$) si determina il suo esito peggiore possibile dal punto di vista del rimpianto: $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$ 1. **Scelta della strategia con il rimpianto massimo minimo (principio del minimax dei rimpianti):** Si sceglie la strategia $s_{\text{Savage}}^{\ast}$ che minimizza il rimpianto massimo trovato: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$ Oppure, sostituendo l'espressione per $r_{ij}$: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$ Il valore minimo del rimpianto massimo, raggiunto applicando il criterio di Savage, è uguale a: $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$ In questo modo, il criterio di Savage è orientato alla scelta della strategia che garantisce le minori perdite rispetto alla migliore azione possibile per ciascuno stato della natura. Punti chiave nella formulazione matematica: - Definizione del rimpianto $r_{ij}$: È il concetto centrale. È importante mostrare che viene calcolato come differenza tra il migliore esito nella colonna j e l'esito corrente a\_{ij}. - Matrice dei rimpianti $R$: È indicato esplicitamente come viene costruita. - Determinazione di $r_{i}^{\max}$: Viene mostrata la ricerca del massimo in ciascuna riga della matrice dei rimpianti. - Principio del minimax: La scelta della strategia tramite $\arg\min$ di $\max$ rimpianti è formulata chiaramente. - Notazioni utilizzate: Standard per la teoria dei giochi e il decision making (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min). ## Vantaggi e svantaggi **Vantaggi:** - Orientato alla minimizzazione dei rischi. - Particolarmente efficace in condizioni di elevata incertezza. **Svantaggi:** - Ignora il profitto atteso, concentrandosi esclusivamente sulle possibili perdite. - Può portare a decisioni eccessivamente conservative. ## Criteri di decision making - Criterio di Hurwicz - Criterio di Laplace - Criterio di Wald