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title: "Constraints — प्रतिबंध"
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article: "Constraints_—_प्रतिबंध"
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revision_id: 1195
wiki_created_at: 2026-09-06T22:44:51Z
wiki_modified_at: 2026-09-06T22:44:51Z
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# Constraints — प्रतिबंध

**प्रतिबंध** — एक ऐसी शर्त, नियम या कारक है जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं, निर्णयों या क्रियाओं के समुच्चय को सीमित करता है। प्रतिबंध भौतिक, आर्थिक, तार्किक, कानूनी, सामाजिक या अन्य प्रकृति के हो सकते हैं और मॉडलिंग, योजना-निर्माण, प्रबंधन तथा निर्णय लेने में महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

- प्रणाली विश्लेषण में — प्रतिबंध किसी प्रणाली या उसके घटकों के व्यवहार की सीमाएँ निर्धारित करता है।
- अर्थशास्त्र में — यह संसाधन सीमाएँ होती हैं (वित्तीय, समयगत, श्रमगत आदि)।
- कानून में — यह नियामक अधिनियमों द्वारा स्थापित अनुमत व्यवहार की सीमाएँ हैं।
- संक्रिया अनुसंधान में — यह गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जो समाधानों का अनुमत क्षेत्र निर्धारित करती हैं।

## संक्रिया अनुसंधान के कार्यों में प्रतिबंध

प्रतिबंध — संक्रिया अनुसंधान के कार्यों में एक प्रमुख तत्त्व है जो गणितीय मॉडल के अंतर्गत समाधानों की स्वीकार्यता निर्धारित करता है। किसी समाधान की इष्टतमता का निर्धारण स्थापित प्रतिबंधों के अनुपालन को ध्यान में रखते हुए अनिवार्य रूप से किया जाता है।

प्रतिबंध एक ऐसी गणितीय अभिव्यक्ति है जो समानता या असमानता के रूप में होती है, जिसे मॉडल के चर-राशियों को संतुष्ट करना होता है। प्रतिबंध स्वीकार्य समाधानों के समुच्चय को संकुचित करते हैं। कुछ स्थितियों में दी गई प्रतिबंध-प्रणाली के अंतर्गत इष्टतम समाधान का अस्तित्व नहीं भी हो सकता।

प्रतिबंधों का उपयोग वास्तविक परिस्थितियों के औपचारिक वर्णन के लिए किया जाता है और इनमें शामिल हो सकते हैं:

- कोटा और मानक;
- वाहनों की भार-वहन क्षमता;
- योजना कार्य का आयतन;
- उपकरणों की भार या आयामी विशेषताएँ;
- उपलब्ध संसाधनों पर प्रतिबंध (भौतिक, समयगत, वित्तीय आदि)।

प्रतिबंधों की संरचना में परिवर्तन इष्टतम समाधान को बदल सकता है। वास्तविकता में प्रतिबंध अपनी प्रकृति में भौतिक, आर्थिक, तकनीकी या राजनीतिक हो सकते हैं और उन्हें सदैव कड़ाई से औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता।

कोई विशेष समाधान केवल दिए गए मॉडल और निश्चित प्रतिबंध-प्रणाली के अंतर्गत ही सर्वश्रेष्ठ माना जाता है। मॉडल जितनी सटीकता से वास्तविक स्थिति को प्रतिबिंबित करता है, प्राप्त समाधान उतना ही सच्चे इष्टतम के निकट होता है।

## गणितीय प्रतिबंधों के प्रकार

गणितीय मॉडलिंग में, विशेषकर अनुकूलन और संक्रिया अनुसंधान में, प्रतिबंध सामान्यतः निम्न रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं:

- **असमानता प्रतिबंध:** कुछ चर-राशियों के संयोजन के लिए ऊपरी या निचली सीमा निर्धारित करते हैं। ये संकेत करते हैं कि कोई निश्चित मात्रा (उदाहरणतः संसाधन की खपत) दी गई सीमा से अधिक नहीं होनी चाहिए, या इसके विपरीत, किसी सीमा-मान से कम नहीं होनी चाहिए।
- **समानता प्रतिबंध:** यह अपेक्षा रखते हैं कि चर-राशियों का कोई निश्चित संयोजन एक दिए गए मान के बिल्कुल बराबर हो। इनका उपयोग प्रायः संतुलन संबंधों (उदाहरणतः उत्पादित वस्तु का आयतन योजना के ठीक अनुरूप होना चाहिए) या तकनीकी आवश्यकताओं के वर्णन हेतु किया जाता है।
- **चर-राशियों के चिह्न पर प्रतिबंध:** स्वयं चर-राशियों के लिए अनुमत मान-सीमा संकेत करते हैं। सबसे अधिक प्रचलित चर-राशियों की अऋणात्मकता की अपेक्षा है, जिसका अर्थ है कि उनके मान शून्य से कम नहीं हो सकते। यह अनेक राशियों के भौतिक या आर्थिक अर्थ को प्रतिबिंबित करता है (उदाहरणतः उत्पादन मात्राएँ, संसाधनों की मात्रा, समय ऋणात्मक नहीं हो सकते)।

## स्वीकार्य समाधानों के क्षेत्र के निर्धारण में प्रतिबंधों की भूमिका

कार्य के समस्त प्रतिबंधों का समुच्चय **स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र** (ОДР) निर्धारित करता है — यह चर-राशियों के समष्टि का एक उपसमुच्चय है जिसमें वे सभी विकल्प होते हैं जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करते हैं। इष्टतम समाधान की खोज ओडीआर के भीतर ही की जाती है। यदि ओडीआर रिक्त है (अर्थात् ऐसी कोई चर-राशियों की कोई भी व्यवस्था नहीं है जो सभी प्रतिबंधों को एक साथ संतुष्ट करे), तो कार्य का कोई हल नहीं है।

## सक्रिय और निष्क्रिय प्रतिबंध

इष्टतम समाधान के बिंदु पर:

- **सक्रिय प्रतिबंध** — यह एक असमानता प्रतिबंध है जो कड़ी समानता के रूप में पूरा होता है (अर्थात् "बिल्कुल सीमा पर")। यह लक्ष्य फ़ंक्शन के इष्टतम मान को प्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है; इसे शिथिल करने से परिणाम में सुधार हो सकता था।
- **निष्क्रिय प्रतिबंध** — यह एक असमानता प्रतिबंध है जो कड़ी असमानता के चिह्न के साथ पूरा होता है (अर्थात् "मार्जिन के साथ")। ऐसे प्रतिबंध में छोटे परिवर्तन, सामान्यतः इष्टतम समाधान को प्रभावित नहीं करेंगे।

प्रतिबंधों की सक्रियता का विश्लेषण मॉडल के संवेदनशीलता विश्लेषण के लिए महत्त्वपूर्ण है।

## साहित्य

- *वेंट्सेल ई. एस.* संक्रिया अनुसंधान: कार्य, सिद्धांत, पद्धति। — मॉस्को: नाउका, 1988।
- *अकॉफ़ आर., सासिएनी एम.* संक्रिया अनुसंधान के मूल सिद्धांत। — मॉस्को: मीर, 1971।
- *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)
- *वोल्कोवा वी. एन., डेनिसोव ए. ए.* प्रणाली सिद्धांत और प्रणाली विश्लेषण: विश्वविद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तक। मॉस्को: युरैत प्रकाशन, 2025।

## यह भी देखें

- संक्रिया अनुसंधान
- प्रणाली विश्लेषण
- अनुकूलन
- गणितीय मॉडल
- लक्ष्य फ़ंक्शन
- स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र
- रैखिक प्रोग्रामिंग
- निर्णय सिद्धांत