---
title: "Многокритериална оптимизация"
source: "https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F"
wiki: "systems-analysis.info/int"
article: "Многокритериална_оптимизация"
language: "bg"
categories:
  - "Category:Bulgarian"
  - "Category:Decision theory"
  - "Category:Operations research"
revision_id: 8705
wiki_created_at: 2026-09-07T01:21:26Z
wiki_modified_at: 2026-09-07T01:21:26Z
downloaded_at: 2026-09-07T23:26:55Z
---

# Многокритериална оптимизация

**Многокритериална оптимизация** (също **многокритериално програмиране**, англ. *multi-objective optimization, multi-criteria optimization*) — това е раздел на математическата оптимизация, изучаващ задачи за едновременна оптимизация по две или повече целеви функции (критерии), които, като правило, си противоречат помежду си<sup>[\[1\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ru-wiki-moo-1)[\[2\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-trifonov-matlab-2)</sup>. Формално задачата се записва като минимизация на векторна целева функция върху множеството от допустими решения.

## Определение и терминология

Задачата за многокритериална оптимизация в общ вид се записва по следния начин: $\min\limits_{x \in S}\{ f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{k}(x)\}$ където $S \subseteq {\mathbb{R}}^{n}$ — непразно множество от допустими решения, а $f_{i}:S \rightarrow {\mathbb{R}}$ — целеви функции ($k \geq 2$)<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)</sup>. Векторът $f(x) = (f_{1}(x),\ldots,f_{k}(x))$ се нарича целеви вектор.

За разлика от скаларната оптимизация, в многокритериалната постановка обикновено не съществува единствено решение, което едновременно подобрява стойностите на всички критерии. Затова класическото понятие за оптимум се обобщава чрез концепцията за оптималност по Парето<sup>[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>.

- **Решение на Парето** (Парето-оптимално или ефективно решение): допустимо решение $x^{\ast} \in S$, за което не съществува друго решение $x \in S$, такова че $f_{i}(x) \leq f_{i}(x^{\ast})$ за всички $i = 1,\ldots,k$, и при това $f_{j}(x) < f_{j}(x^{\ast})$ поне за един индекс $j$<sup>[\[3\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-encyclopedia-math-moo-3)[\[4\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-pareto-4)</sup>. С други думи, решението е Парето-оптимално, ако стойността на нито един критерий не може да бъде подобрена, без да се влоши поне един друг критерий.
- **Фронт на Парето** (или множество на Парето): множеството от всички целеви вектори, съответстващи на Парето-оптимални решения.
- **Слабо Парето-оптимално решение**: решение $x^{\ast} \in S$, за което не съществува друго решение $x \in S$, такова че $f_{i}(x) < f_{i}(x^{\ast})$ за всички $i$.

## Ключови свойства и теореми

- **Теорема за претеглената сума**: В изпъкнали задачи (където всички функции $f_{i}(x)$ и множеството $S$ са изпъкнали) всяко Парето-оптимално решение $x^{\ast}$ е решение на скаларна задача за минимизация на претеглена сума от критерии $\min\limits_{x \in S}\sum\limits_{i = 1}^{k}w_{i}f_{i}(x)$ за някакъв набор от неотрицателни тегла $w_{i} \geq 0$. Въпреки това, в неизпъкнали задачи този метод може да не намери някои части на фронта на Парето<sup>[\[5\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-sobol-statnikov-5)[\[6\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-marler-arora-2010-6)</sup>.

<!-- -->

- **Условия за оптималност на Каруш-Кун-Тъкър (ККТ)**: Необходимите условия за оптималност за гладки задачи се обобщават за многокритериалния случай. В точката на Парето-оптимума съществува ненулев набор от неотрицателни множители (тегла), при които градиентите на целевите функции и активните ограничения са линейно зависими<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

<!-- -->

- **Свойства на множеството от решения**: Парето-фронтът притежава редица важни качествени характеристики. Границата му е определена от **идеалната точка** (съставена от поелементните минимуми на всички критерии) и **точката надир** (от поелементните максимуми върху фронта)<sup>[\[7\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-miettinen-book-7)</sup>.

## Примери

- **Линейна задача**: Минимизиране на $f_{1}(x) = - x_{1}$ и $f_{2}(x) = - x_{2}$ при ограничение $x_{1} + x_{2} \leq 1$, $x_{1},x_{2} \geq 0$. Тук подобряването на един критерий (например увеличаването на $x_{1}$) неизбежно води до влошаване на друг (намаляване на $x_{2}$). Множеството от Парето-оптимални решения е отсечка от правата $x_{1} + x_{2} = 1$.
- **Неизпъкнала задача**: Минимизиране на $f_{1}(x) = x^{2}$ и $f_{2}(x) = (x - 2)^{2}$ върху отсечката $\lbrack 0,2\rbrack$. Парето-фронтът е неизпъкнал. Методът на претеглените суми с положителни тегла няма да може да намери решения вътре в тази отсечка (например в точката $x = 1$), тъй като линейната комбинация от критерии ще достига минимум само в крайните точки $x = 0$ или $x = 2$<sup>[\[8\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-ehrgott-book-8)</sup>.

## Свързани понятия и приложения

Многокритериалната оптимизация е тясно свързана с многокритериалното вземане на решения (MCDM), което изучава избора на най-добра алтернатива, отчитайки предпочитанията на лицето, вземащо решения. Основните методи за преобразуване на многокритериалната задача в скаларна (скаларизация) включват:

- **Метод на претеглените суми**.
- **Метод на $\varepsilon$-ограниченията**: Оптимизира се един критерий, а останалите се превръщат в ограничения от вид $f_{i}(x) \leq \varepsilon_{i}$. Този метод е в състояние да намира решения върху неизпъкнали участъци на фронта<sup>[\[9\]](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_note-mavrotas-2009-9)</sup>.

Многокритериалната оптимизация намира широко приложение в инженерното проектиране, икономиката (например оптимизация на портфейл), управлението и екологията.

## Вижте също

- Оптималност по Парето
- Векторна оптимизация
- Теория на вземането на решения
- Системи за подпомагане вземането на решения
- Изследване на операциите

## Бележки

1.  <span id="cite_note-ru-wiki-moo-1">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ru-wiki-moo_1-0) "Многокритериальная оптимизация". *Википедия*. <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Многокритериальная_оптимизация" class="external autonumber" rel="nofollow">[1]</a></span>
2.  <span id="cite_note-trifonov-matlab-2">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-trifonov-matlab_2-0) Трифонов А. Г. *Многокритериальная оптимизация*. Matlab Exponenta. <a href="http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php" class="external autonumber" rel="nofollow">[2]</a></span>
3.  <span id="cite_note-encyclopedia-math-moo-3">↑ <sup>[3.0](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-0)</sup> <sup>[3.1](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-encyclopedia-math-moo_3-1)</sup> "Multi-objective optimization". *Encyclopedia of Mathematics*. <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multi-objective_optimization" class="external autonumber" rel="nofollow">[3]</a></span>
4.  <span id="cite_note-ehrgott-pareto-4">↑ <sup>[4.0](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-pareto_4-0)</sup> <sup>[4.1](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-pareto_4-1)</sup> Ehrgott, M. (2012). Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization. *Documenta Mathematica*, Extra Volume ISMP, 447–453. <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/63_ehrgott-matthias.pdf" class="external autonumber" rel="nofollow">[4]</a></span>
5.  <span id="cite_note-sobol-statnikov-5">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-sobol-statnikov_5-0) Соболь И. М., Статников Р. Б. (2006). *Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями* (2-е изд.). Дрофа.</span>
6.  <span id="cite_note-marler-arora-2010-6">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-marler-arora-2010_6-0) Marler, R. T., & Arora, J. S. (2010). The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights. *Structural and Multidisciplinary Optimization*, 41(6), 853-862. <a href="https://link.springer.com/article/10.1007/s00158-009-0460-7" class="external autonumber" rel="nofollow">[5]</a></span>
7.  <span id="cite_note-miettinen-book-7">↑ <sup>[7.0](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-miettinen-book_7-0)</sup> <sup>[7.1](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-miettinen-book_7-1)</sup> Miettinen, K. (1998). *Nonlinear Multiobjective Optimization*. Kluwer Academic Publishers.</span>
8.  <span id="cite_note-ehrgott-book-8">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-ehrgott-book_8-0) Ehrgott, M. (2005). *Multicriteria Optimization* (2nd ed.). Springer-Verlag.</span>
9.  <span id="cite_note-mavrotas-2009-9">[↑](https://systems-analysis.info/int/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F#cite_ref-mavrotas-2009_9-0) Mavrotas, G. (2009). Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems. *Applied Mathematics and Computation*, 213(2), 455-465. <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300309002483" class="external autonumber" rel="nofollow">[6]</a></span>