--- title: "Критерий на Хурвиц" source: "https://systems-analysis.info/int/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%B0_%D0%A5%D1%83%D1%80%D0%B2%D0%B8%D1%86" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Критерий_на_Хурвиц" language: "bg" categories: - "Category:Bulgarian" - "Category:Decision theory" - "Category:Decision-making" revision_id: 8689 wiki_created_at: 2026-09-07T01:21:11Z wiki_modified_at: 2026-09-07T01:21:11Z downloaded_at: 2026-09-07T23:26:49Z --- # Критерий на Хурвиц **Критерий на Хурвич** — един от методите за вземане на решения в условия на неопределеност, който предлага балансиран подход между крайния оптимизъм и крайния песимизъм. ## Същност на критерия При избор на стратегия в ситуация, когато изходът на събитията е неизвестен, критерият на Хурвич предлага да се отчитат едновременно: - най-лошият възможен резултат (песимистичен подход), - най-добрият възможен резултат (оптимистичен подход). За целта се използва специален параметър — коефициент на оптимизъм, който приема стойност от нула до единица. Колкото по-близо е коефициентът до единица, толкова повече внимание се отделя на най-добрите изходи; колкото по-близо е до нула, толкова повече се отчитат най-лошите възможни резултати. ### Математическа формулировка Нека са зададени: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — множество от налични стратегии (алтернативи). - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — множество от възможни състояния на природата. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — функция на печалбата (полезността) при избор на стратегия $s_{i}$ и настъпване на състояние $\theta_{j}$. Често се представя като платежна матрица $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$, където $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. Критерият на Хурвич въвежда **коефициент на оптимизъм** $\alpha$ (алфа), който се избира от лицето, вземащо решението (ЛВР), в диапазона $0 \leq \alpha \leq 1$. Този коефициент отразява степента на оптимизъм на ЛВР: - $\alpha = 1$ съответства на пълен оптимизъм (отчита се само най-добрият възможен изход). - $\alpha = 0$ съответства на пълен песимизъм (отчита се само най-лошият възможен изход, критерият се свежда до критерия на Валд). - Стойността $(1 - \alpha)$ може да се интерпретира като **коефициент на песимизъм**. Процедура за прилагане на критерия на Хурвич: 1. **Намиране на минималната и максималната печалба за всяка стратегия:** За всяка стратегия $s_{i} \in S$ се определят: \*\*Най-лош изход (минимална печалба):\*\* $u_{i}^{\min} = \min\limits_{j = 1,\ldots,n}u(s_{i},\theta_{j}) = \min\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)$ \*\*Най-добър изход (максимална печалба):\*\* $u_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}u(s_{i},\theta_{j}) = \max\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)$ 1. **Изчисляване на стойността на критерия на Хурвич за всяка стратегия:** За всяка стратегия $s_{i}$ се изчислява претеглена стойност, комбинираща най-добрия и най-лошия изход с отчитане на коефициента на оптимизъм $\alpha$: $H(s_{i},\alpha) = \alpha \cdot u_{i}^{\max} + (1 - \alpha) \cdot u_{i}^{\min}$ Тази стойност представлява очакваната печалба на стратегия $s_{i}$ съгласно предпочитанията на ЛВР, изразени чрез $\alpha$. 1. **Избор на оптимална стратегия:** Избира се онази стратегия $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast}$, която максимизира изчислената стойност на критерия на Хурвич: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast} = \arg\max\limits_{i = 1,\ldots,m}H(s_{i},\alpha) = \arg\max\limits_{s_{i} \in S}\left( \alpha \cdot u_{i}^{\max} + (1 - \alpha) \cdot u_{i}^{\min} \right)$ Опималната стойност на критерия на Хурвич (гарантирано ниво с отчитане на оптимизма $\alpha$) е равна на: $V_{\text{Hurwicz}} = \max\limits_{i = 1,\ldots,m}H(s_{i},\alpha) = \max\limits_{s_{i} \in S}\left( \alpha \cdot (\max\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)) + (1 - \alpha) \cdot (\min\limits_{\theta \in \Theta}u(s_{i},\theta)) \right)$ #### Забележка относно функцията на загубите Ако се използва функция на загубите $L(s_{i},\theta_{j})$, която трябва да се минимизира, критерият на Хурвич се прилага за минимизиране на претеглената комбинация от най-добрия (минимални загуби) и най-лошия (максимални загуби) изход: 1. За всяка стратегия $s_{i}$ се намират минималните $L_{i}^{\min}$ и максималните $L_{i}^{\max}$ загуби. 2. Изчислява се стойността: $H_{L}(s_{i},\alpha) = \alpha \cdot L_{i}^{\min} + (1 - \alpha) \cdot L_{i}^{\max}$ 3. Избира се стратегията, минимизираща тази стойност: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast} = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}H_{L}(s_{i},\alpha)$ Тук $\alpha$ е все още коефициент на оптимизъм: при $\alpha = 1$ ЛВР се фокусира върху минимизиране на минималните загуби (оптимистично се надява на най-добрия изход), при $\alpha = 0$ — върху минимизиране на максималните загуби (песимистично се подготвя за най-лошото). ## Приложение на критерия Процесът на прилагане на критерия на Хурвич включва следните стъпки: 1. Определят се минималният и максималният резултат за всяка възможна стратегия. 2. За всяка стратегия се изчислява крайна оценка, която представлява претеглена стойност между нейния най-лош и най-добър изход, в зависимост от избраното ниво на оптимизъм. 3. Избира се онази стратегия, чиято крайна оценка е максимална. По този начин лицето, вземащо решението, избира стратегията, която най-добре отчита неговото собствено отношение към риска и неопределеността. ## Предимства и недостатъци **Предимства:** - Позволява адаптиране на процеса на избор в зависимост от характера и предпочитанията на лицето, вземащо решението. - Отчита както риска, така и потенциалните ползи. **Недостатъци:** - Изисква субективен избор на коефициента на оптимизъм, което може да повлияе върху обективността на решението.