--- title: "Критерий на Сейвидж" source: "https://systems-analysis.info/int/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%B0_%D0%A1%D0%B5%D0%B9%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B6" wiki: "systems-analysis.info/int" article: "Критерий_на_Сейвидж" language: "bg" categories: - "Category:Bulgarian" - "Category:Decision theory" - "Category:Decision-making" revision_id: 8687 wiki_created_at: 2026-09-07T01:21:09Z wiki_modified_at: 2026-09-07T01:21:09Z downloaded_at: 2026-09-07T23:26:49Z --- # Критерий на Сейвидж **Критерий на Сейвидж** (известен също като **критерий за минимално съжаление**) — един от методите за вземане на решения в условия на неопределеност. Прилага се в ситуации, когато вероятностите на различните изходи са неизвестни, а целта е минимизиране на потенциалните загуби вследствие на взето неоптимално решение. ## Обща характеристика В условия на неопределеност последствията от избора на всяка стратегия не са точно определени. За оценка на възможните алтернативи се използва редица критерии, като критериите на Валд, Хурвич, Лаплас и Сейвидж. Критерият на Сейвидж е насочен не към постигане на максимална печалба, а към **минимизиране на максималното съжаление** (загубите в сравнение с най-добрия възможен резултат). **Съжалението** е величина, отразяваща пропуснатата изгода поради това, че не е избрана оптималната стратегия при конкретен изход. ## Алгоритъм за прилагане на критерия на Сейвидж - Формиране на платежна матрица: Изгражда се таблица, чиито редове съответстват на възможните стратегии, а колоните — на възможните изходи на събитията. На пресечната точка се записва очакваният резултат при конкретна стратегия и изход. - Изграждане на матрица на съжаленията (матрица на рисковете): За всеки изход (колона) се определя максималната стойност на печалбата. След това за всяка клетка се изчислява величината на съжалението: - Определяне на максималните съжаления за всяка стратегия: Във всеки ред на матрицата на съжаленията се избира максималната стойност (най-лошият случай за дадената стратегия). - Избор на оптимална стратегия: Избира се онази стратегия, за която максималното съжаление е минимално. По този начин критерият на Сейвидж реализира принципа на минимизиране на възможната загуба от неправилно решение. ## Математическа формулировка Нека са зададени: - $S = \{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{m}\}$ — множество от достъпни стратегии (алтернативи). - $\Theta = \{\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\}$ — множество от възможни състояния на природата. - $u(s_{i},\theta_{j})$ — функция на печалбата (полезността) при избор на стратегия $s_{i}$ и настъпване на състояние $\theta_{j}$. Често се представя с платежна матрица $A = \lbrack a_{ij}\rbrack$, където $a_{ij} = u(s_{i},\theta_{j})$. Критерият на Сейвидж се основава на понятието **съжаление** (regret) или **пропусната изгода**. Съжалението $r(s_{i},\theta_{j})$ за стратегия $s_{i}$ при състояние на природата $\theta_{j}$ се определя като разлика между максимално възможната печалба, която би могла да бъде получена при дадено състояние на природата $\theta_{j}$ (ако беше избрана най-добрата стратегия за това състояние), и действителната печалба от стратегия $s_{i}$. Алгоритъм за прилагане на критерия на Сейвидж: 1. **Изчисляване на матрицата на съжаленията (рисковете):** **а) Намиране на максималната печалба за всяко състояние на природата (всяка колона на платежната матрица):** $u_{j}^{\ast} = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}u(s_{k},\theta_{j}) = \max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}$ Това е най-добрият възможен резултат, ако настъпи състояние $\theta_{j}$. **б) Изчисляване на елементите на матрицата на съжаленията** $R = \lbrack r_{ij}\rbrack$:\*\* $r_{ij} = r(s_{i},\theta_{j}) = u_{j}^{\ast} - u(s_{i},\theta_{j}) = (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij}$ Елементът $r_{ij}$ показва с колко печалбата от стратегия $s_{i}$ е по-малка от максимално възможната при състояние $\theta_{j}$. Всички елементи $r_{ij} \geq 0$. 1. **Намиране на максималното съжаление за всяка стратегия:** За всяка стратегия $s_{i}$ (всеки ред на матрицата на съжаленията $R$) се определя най-лошият ѝ възможен изход от гледна точка на съжалението: $r_{i}^{\max} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} = \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left( (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right)$ 1. **Избор на стратегия с минимално максимално съжаление (принцип на минимакс на съжаленията):** Избира се онази стратегия $s_{\text{Savage}}^{\ast}$, която минимизира намереното максимално съжаление: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \arg\min\limits_{s_{i} \in S}\left( \max\limits_{\theta_{j} \in \Theta}r(s_{i},\theta_{j}) \right)$ Или, като се подставя изразът за $r_{ij}$: $s_{\text{Savage}}^{\ast} = \arg\min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}\left\lbrack (\max\limits_{k = 1,\ldots,m}a_{kj}) - a_{ij} \right\rbrack \right)$ Минималната стойност на максималното съжаление, постигана при прилагане на критерия на Сейвидж, е равна на: $V_{\text{Savage}} = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}(r_{i}^{\max}) = \min\limits_{i = 1,\ldots,m}\left( \max\limits_{j = 1,\ldots,n}r_{ij} \right)$ По този начин критерият на Сейвидж е насочен към избора на стратегия, която гарантира най-малки загуби спрямо най-доброто възможно действие за всяко състояние на природата. Ключови моменти в математическата формулировка: - Определение на съжалението $r_{ij}$: Това е централното понятие. Важно е да се покаже, че то се изчислява като разлика между най-добрия изход в колона j и текущия изход a\_{ij}. - Матрица на съжаленията $R$: Изрично е посочено как се изгражда. - Намиране на $r_{i}^{\max}$: Показано е търсенето на максимума във всеки ред на матрицата на съжаленията. - Принцип на минимакс: Ясно е формулиран изборът на стратегия чрез $\arg\min$ от $\max$ съжаления. - Използвани означения: Стандартни за теорията на игрите и вземането на решения (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min). ## Предимства и недостатъци **Предимства:** - Насочен е към минимизиране на рисковете. - Особено ефективен в условия на висока неопределеност. **Недостатъци:** - Игнорира очакваната печалба, като се съсредоточава само върху възможните загуби. - Може да води до прекалено консервативни решения. ## Критерии за вземане на решения - Критерий на Хурвич - Критерий на Лаплас - Критерий на Валд